Mostre que planos que possuem a origem de
são subespaços vetoriais de
, onde
e
são as operações usuais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que planos que passam pela origem em
são subespaços vetoriais do espaço
, onde
e
são as operações usuais de soma vetorial e multiplicação por escalar. Para resolver isso, precisamos entender o que define um subespaço vetorial e verificar se os planos que contêm a origem satisfazem essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se:
- A origem de
está em . -
é fechado sob a adição vetorial. -
é fechado sob a multiplicação por escalar.
Então, precisamos verificar essas três condições para qualquer plano que passa pela origem em
.
Passo 3
1. A origem está no plano:
Como o enunciado já diz que o plano possui a origem, essa primeira condição está satisfeita. A origem
pertence ao plano.
Passo 4
2. Fechamento sob adição vetorial:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
que estão no plano. Precisamos mostrar que a soma
também está no plano.
Como
e
estão no plano que passa pela origem, qualquer combinação linear deles também estará no plano. A adição vetorial é uma operação de combinação linear, então
estará no plano.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, pegamos um vetor qualquer
no plano e multiplicamos por um escalar
. Precisamos mostrar que
também está no plano.
Novamente, como o plano é um conjunto fechado por combinações lineares, multiplicar
por
não sai do plano. Assim,
pertence ao plano.
Resposta
Como qualquer plano que passa pela origem satisfaz as três condições de um subespaço vetorial — contém a origem, é fechado sob adição vetorial e sob multiplicação por escalar — concluímos que esses planos são, de fato, subespaços vetoriais de
.