(1,0) Considere agora a seguinte matriz antissimétrica:
Verifique se essa matriz é ou não invertível.

Passo 1

Vamos analisar se a matriz antissimétrica fornecida é invertível. Estamos trabalhando com matrizes antissimétricas na matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos verificar o determinante da matriz, que nos dirá se ela tem inversa ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz é antissimétrica se , onde é a transposta de . Isso significa que os elementos acima da diagonal principal são o negativo dos elementos abaixo dela, e todos os elementos na diagonal principal são zero.

Passo 3

Uma propriedade importante das matrizes antissimétricas é que o determinante de uma matriz antissimétrica de ordem ímpar é sempre zero. Isso acontece porque, para matrizes de ordem ímpar, o determinante é igual ao produto dos autovalores, e pelo menos um deles será zero, fazendo com que o determinante seja zero.

Passo 4

No caso da matriz dada, ela é uma matriz , que é de ordem ímpar. Aplicando a propriedade mencionada, sabemos que o determinante dessa matriz é zero.

Resposta

A matriz antissimétrica fornecida não é invertível porque seu determinante é zero.

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Seja um vetor ortogonal a cada um dos vetores e . Use as propriedades do produto interno para mostrar que é ortogonal ao vetor , quaisquer que sejam os escalares .
(ENADE 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos,os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada (o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de ). Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de de água. Denote por o custo total estimado da obra, em bilhões de reais,e por o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares , em que:
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que .
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
C) Mais de da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
Determine , tal que os vetores e sejam ortogonais:
a) e ;
b) e .
para todo e . Defina a aplicação
onde (este é o produto interno canônico de ).
a) Prove que é um produto interno.
b) Sendo , calcule o ângulo e a distância entre as funções .
c) Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que