Seja v um vetor ortogonal a cada um dos vetores v1 e v2. Use as propriedades do produto interno para mostrar que v é ortogonal ao vetor c1 v1+c2 v2, quaisquer que sejam os escalares c1 e c2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor que é ortogonal a dois outros vetores e . Queremos mostrar que também é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores, ou seja, ao vetor , onde e são escalares. Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades do produto interno, que é uma ferramenta fundamental na geometria vetorial para medir ângulos e comprimentos entre vetores.

Passo 2

Lembre que dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é igual a zero. Ou seja, se v cdot v1 = 0 e v cdot v2 = 0 é ortogonal a e , então:
Isso significa que forma um ângulo de 90 graus com ambos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno de v cdot (c1 v1 + c2 v2) = c1 (v cdot v1) + c2 (v cdot v2) com a combinação linear . Usando a propriedade da distributividade do produto interno, temos:
Aqui, separamos o produto interno do vetor com cada termo da combinação linear, multiplicando cada produto interno pelo respectivo escalar.

Passo 4

Sabemos que c1 (0) + c2 (0) = 0 + 0 = 0 e . Substituindo esses valores na equação anterior, temos:
Isso mostra que o produto interno de com é igual a zero.

Resposta

Como , concluímos que o vetor é ortogonal ao vetor para quaisquer escalares e .

Exercícios relacionados