Seja
um vetor ortogonal a cada um dos vetores
e
. Use as propriedades do produto interno para mostrar que
é ortogonal ao vetor
, quaisquer que sejam os escalares
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
que é ortogonal a dois outros vetores
e
. Queremos mostrar que
também é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores, ou seja, ao vetor
, onde
e
são escalares. Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades do produto interno, que é uma ferramenta fundamental na geometria vetorial para medir ângulos e comprimentos entre vetores.
Passo 2
Lembre que dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles é igual a zero. Ou seja, se
é ortogonal a
e
, então:
Isso significa que
forma um ângulo de 90 graus com ambos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto interno de
com a combinação linear
. Usando a propriedade da distributividade do produto interno, temos:
Aqui, separamos o produto interno do vetor
com cada termo da combinação linear, multiplicando cada produto interno pelo respectivo escalar.
Passo 4
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na equação anterior, temos:
Isso mostra que o produto interno de
com
é igual a zero.
Resposta
Como
, concluímos que o vetor
é ortogonal ao vetor
para quaisquer escalares
e
.