(ENADE 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos,os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada (o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m^3 / s ). Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m^3 / s de água. Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais,e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares A X=B, em que:
A=[ccc 1 & 2 & -2 0 & 4 & -1 1 & 0 & -2 ] ; B=[c 11 4 2 ] e X=[l x y z ]
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A)=0.
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
C) Mais de 2 % da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares que representa a transposição do rio São Francisco. As variáveis são:
  • : quantidade de água retirada por segundo (em )
  • : custo total da obra (em bilhões de reais)
  • : número de habitantes beneficiados (em milhões)
A matriz e o vetor estão definidos, e a gente precisa resolver esse sistema para verificar qual das opções A a E está correta. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear para isso, como determinantes e resolução de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 & 2 & -2 0 & 4 & -1 1 & 0 & -2 para verificar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. O determinante é dado por:
det(A) = 1 times (4 times (-2) - (-1) times 0) - 2 times (0 times (-2) - (-1) times 1) + (-2) times (0 times 0 - 4 times 1)
Calculando o determinante:
det(A) = 1 times (-8) - 2 times (0 + 1) + (-2) times (0 - 4)
det(A) = -8 - 2 + 8 = -2
Como o determinante não é zero ( ), o sistema tem uma única solução. Então, a opção A está incorreta.

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema para encontrar os valores de x + 2y - 2z = 11 4y - z = 4 x - 2z = 2 , x = 2 + 2z e (2 + 2z) + 2y - 2z = 11 2 + 2y = 11 2y = 9 y = 4,5 .
Temos o sistema:
4 times 4,5 - z = 4 18 - z = 4 z = 14
Primeiro, da terceira equação, isolamos x = 2 + 2 times 14 x = 2 + 28 x = 30 :
Substituímos esse valor de na primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Finalmente, substituímos na expressão para :
Então, temos:
  • bilhões de reais
  • milhões de habitantes

Passo 4

Vamos analisar cada opção com base nos valores encontrados:
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que ( 301850 ) times 100% approx 1,62% .
Já vimos que , então essa opção está incorreta.
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
Encontramos milhões, que é mais do que 11 milhões. Portanto, essa opção está incorreta.
C) Mais de da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
A vazão atual é de , e .
Vamos calcular a porcentagem:
Como , essa opção está incorreta.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
Encontramos bilhões, que é maior que 4 bilhões. Essa opção está correta.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
Como a matriz tem determinante diferente de zero, sua forma escalonada não terá colunas nulas. Assim, essa opção está incorreta.

Resposta

D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.

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