(ENADE 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos,os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada (o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de ). Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de de água. Denote por o custo total estimado da obra, em bilhões de reais,e por o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares , em que:
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que .
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
C) Mais de da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares que representa a transposição do rio São Francisco. As variáveis são:
: quantidade de água retirada por segundo (em )
: custo total da obra (em bilhões de reais)
: número de habitantes beneficiados (em milhões)
A matriz e o vetor estão definidos, e a gente precisa resolver esse sistema para verificar qual das opções A a E está correta. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear para isso, como determinantes e resolução de sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz para verificar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. O determinante é dado por:
Calculando o determinante:
Como o determinante não é zero (), o sistema tem uma única solução. Então, a opção A está incorreta.
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema para encontrar os valores de , e .
Temos o sistema:
Primeiro, da terceira equação, isolamos :
Substituímos esse valor de na primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Finalmente, substituímos na expressão para :
Então, temos:
bilhões de reais
milhões de habitantes
Passo 4
Vamos analisar cada opção com base nos valores encontrados:
A) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que .
Já vimos que , então essa opção está incorreta.
B) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
Encontramos milhões, que é mais do que 11 milhões. Portanto, essa opção está incorreta.
C) Mais de da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
A vazão atual é de , e .
Vamos calcular a porcentagem:
Como , essa opção está incorreta.
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
Encontramos bilhões, que é maior que 4 bilhões. Essa opção está correta.
E) A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
Como a matriz tem determinante diferente de zero, sua forma escalonada não terá colunas nulas. Assim, essa opção está incorreta.
Resposta
D) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.