Considere agora que uma terceira massa,
, é afixada através de uma mola, de constante elástica
, à massa uma das duas massas originais. Obtenha uma lagrangiana e as respectivas equações de Lagrange para o sistema. Considere desprezíveis as massas da roldana e do fio inextensível, e que o comprimento natural da mola é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com três massas conectadas por fios e uma mola. Nosso objetivo é encontrar a lagrangiana desse sistema e as equações de Lagrange que descrevem o movimento das massas. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de energia cinética, energia potencial e a fórmula da Lagrangiana
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas que descrevem o sistema. Suponha que as duas massas originais sejam
e
, e a terceira massa seja
. Vamos chamar de
a posição da massa
e de
a posição da massa
. A massa
está conectada a
por uma mola, então sua posição será influenciada por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética
do sistema. A energia cinética de cada massa é dada por
, onde
é a velocidade. Assim:
Aqui,
e
representam as derivadas das posições em relação ao tempo, ou seja, as velocidades.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a energia potencial
do sistema. Temos duas contribuições: a energia potencial gravitacional e a energia potencial da mola.
A energia potencial gravitacional é:
A energia potencial da mola, considerando que a mola tem comprimento natural
e constante elástica
, é:
Então, a energia potencial total é:
Passo 5
Agora, podemos montar a lagrangiana
, que é dada pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Com a lagrangiana em mãos, vamos aplicar as equações de Lagrange para cada coordenada
e
. A equação de Lagrange para uma coordenada
é:
Vamos começar com a coordenada
:
Agora, para a coordenada
:
Resposta
Então, a lagrangiana do sistema é:
E as equações de Lagrange para o sistema são:
Para
:
Para
:
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.
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.
Se
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