Considere agora que uma terceira massa, , é afixada através de uma mola, de constante elástica , à massa uma das duas massas originais. Obtenha uma lagrangiana e as respectivas equações de Lagrange para o sistema. Considere desprezíveis as massas da roldana e do fio inextensível, e que o comprimento natural da mola é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com três massas conectadas por fios e uma mola. Nosso objetivo é encontrar a lagrangiana desse sistema e as equações de Lagrange que descrevem o movimento das massas. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de energia cinética, energia potencial e a fórmula da Lagrangiana .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas que descrevem o sistema. Suponha que as duas massas originais sejam e , e a terceira massa seja . Vamos chamar de a posição da massa e de a posição da massa . A massa está conectada a por uma mola, então sua posição será influenciada por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema. A energia cinética de cada massa é dada por , onde é a velocidade. Assim:
Aqui, e representam as derivadas das posições em relação ao tempo, ou seja, as velocidades.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a energia potencial do sistema. Temos duas contribuições: a energia potencial gravitacional e a energia potencial da mola.
A energia potencial gravitacional é:
A energia potencial da mola, considerando que a mola tem comprimento natural e constante elástica , é:
Então, a energia potencial total é:

Passo 5

Agora, podemos montar a lagrangiana , que é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Simplificando, temos:

Passo 6

Com a lagrangiana em mãos, vamos aplicar as equações de Lagrange para cada coordenada e . A equação de Lagrange para uma coordenada é:
Vamos começar com a coordenada :
Agora, para a coordenada :

Resposta

Então, a lagrangiana do sistema é:
E as equações de Lagrange para o sistema são:
Para :
Para :

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