Considere agora que uma terceira massa, m3, é afixada através de uma mola, de constante elástica k, à massa uma das duas massas originais. Obtenha uma lagrangiana e as respectivas equações de Lagrange para o sistema. Considere desprezíveis as massas da roldana e do fio inextensível, e que o comprimento natural da mola é l.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema com três massas conectadas por fios e uma mola. Nosso objetivo é encontrar a lagrangiana desse sistema e as equações de Lagrange que descrevem o movimento das massas. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de energia cinética, energia potencial e a fórmula da Lagrangiana .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas que descrevem o sistema. Suponha que as duas massas originais sejam e , e a terceira massa seja . Vamos chamar de a posição da massa e de a posição da massa . A massa está conectada a por uma mola, então sua posição será influenciada por .

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética T = 12 m1 dotx^2 + 12 m2 doty^2 + 12 m3 (dotx)^2 do sistema. A energia cinética de cada massa é dada por , onde é a velocidade. Assim:
Aqui, e representam as derivadas das posições em relação ao tempo, ou seja, as velocidades.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a energia potencial Vgrav = m1 g x + m2 g y do sistema. Temos duas contribuições: a energia potencial gravitacional e a energia potencial da mola.
A energia potencial gravitacional é:
Vmola = 12 k (x - l)^2
A energia potencial da mola, considerando que a mola tem comprimento natural V = Vgrav + Vmola = m1 g x + m2 g y + 12 k (x - l)^2 e constante elástica , é:
Então, a energia potencial total é:

Passo 5

Agora, podemos montar a lagrangiana L = T - V = 12 m1 dotx^2 + 12 m2 doty^2 + 12 m3 dotx^2 - ( m1 g x + m2 g y + 12 k (x - l)^2 ) , que é dada pela diferença entre a energia cinética L = 12 (m1 + m3) dotx^2 + 12 m2 doty^2 - m1 g x - m2 g y - 12 k (x - l)^2 e a energia potencial :
Simplificando, temos:

Passo 6

Com a lagrangiana em mãos, vamos aplicar as equações de Lagrange para cada coordenada ddt ( partial Lpartial dotq ) - partial Lpartial q = 0 e partial Lpartial dotx = (m1 + m3) dotx . A equação de Lagrange para uma coordenada ddt ( partial Lpartial dotx ) = (m1 + m3) ddotx é:
partial Lpartial x = -m1 g - k (x - l)
Vamos começar com a coordenada (m1 + m3) ddotx + m1 g + k (x - l) = 0 :
partial Lpartial doty = m2 doty
ddt ( partial Lpartial doty ) = m2 ddoty
partial Lpartial y = -m2 g
m2 ddoty + m2 g = 0
Agora, para a coordenada :

Resposta

Então, a lagrangiana do sistema é:
L = 12 (m1 + m3) dotx^2 + 12 m2 doty^2 - m1 g x - m2 g y - 12 k (x - l)^2
E as equações de Lagrange para o sistema são:
Para (m1 + m3) ddotx + m1 g + k (x - l) = 0 :
m2 ddoty + m2 g = 0
Para :

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