Uma partícula cai verticalmente sob a ação da gravidade. Supondo que a força de resistência do ar seja proporcional à velocidade, obtenha a equação de movimento da partícula com a ajuda da função de dissipação
. Determine a velocidade com função do tempo e prove que a maior velocidade possível para a queda a partir do repouso é
.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que está caindo verticalmente por causa da gravidade. Além disso, a resistência do ar que ela enfrenta é proporcional à velocidade dela. A gente vai usar o conceito de função de dissipação, que aqui é dada por
, para encontrar a equação de movimento dessa partícula. No final, vamos determinar como a velocidade dela depende do tempo e provar que a velocidade máxima que ela atinge quando cai do repouso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que age na partícula. Ela tem duas forças principais:
- A força da gravidade,
, que puxa a partícula para baixo. - A força de resistência do ar,
, que age na direção contrária ao movimento e é proporcional à velocidade, ou seja, .
Aqui,
é a massa da partícula,
é a aceleração da gravidade,
é a constante de proporcionalidade, e
é a velocidade.
Passo 3
A equação de movimento pode ser escrita usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Rearranjando, temos:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos usar o método dos coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
é a base dos logaritmos naturais, e a expressão mostra como a velocidade aumenta com o tempo.
Passo 5
Agora, vamos verificar qual é a velocidade máxima que a partícula atinge quando cai do repouso. Isso acontece quando
tende ao infinito (
):
Portanto, a velocidade máxima possível é
.
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é
e a velocidade máxima que a partícula atinge quando cai do repouso é