Uma partícula cai verticalmente sob a ação da gravidade. Supondo que a força de resistência do ar seja proporcional à velocidade, obtenha a equação de movimento da partícula com a ajuda da função de dissipação F=lambda v^22. Determine a velocidade com função do tempo e prove que a maior velocidade possível para a queda a partir do repouso é v=m glambda.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que está caindo verticalmente por causa da gravidade. Além disso, a resistência do ar que ela enfrenta é proporcional à velocidade dela. A gente vai usar o conceito de função de dissipação, que aqui é dada por , para encontrar a equação de movimento dessa partícula. No final, vamos determinar como a velocidade dela depende do tempo e provar que a velocidade máxima que ela atinge quando cai do repouso é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que age na partícula. Ela tem duas forças principais:
  1. A força da gravidade, , que puxa a partícula para baixo.
  2. A força de resistência do ar, , que age na direção contrária ao movimento e é proporcional à velocidade, ou seja, .
Aqui, é a massa da partícula, é a aceleração da gravidade, é a constante de proporcionalidade, e é a velocidade.

Passo 3

A equação de movimento pode ser escrita usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
m dvdt = mg - lambda v
Rearranjando, temos:
dvdt = g - lambdam v
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar .

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos usar o método dos coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
v(t) = mglambda (1 - e^-lambdam t)
Aqui, é a base dos logaritmos naturais, e a expressão mostra como a velocidade aumenta com o tempo.

Passo 5

Agora, vamos verificar qual é a velocidade máxima que a partícula atinge quando cai do repouso. Isso acontece quando limt to infty v(t) = mglambda (1 - e^-lambdam cdot infty) = mglambda (1 - 0) = mglambda tende ao infinito ( ):
Portanto, a velocidade máxima possível é .

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é
v(t) = mglambda (1 - e^-lambdam t)
e a velocidade máxima que a partícula atinge quando cai do repouso é
v = mglambda

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