Considere uma matriz de ordem e uma matriz de ordem . Justifique porque podemos escrever
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes: de ordem e de ordem . A pergunta quer que a gente explique por que podemos escrever o produto como uma combinação linear das colunas de , multiplicadas pelos elementos de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa multiplicar uma matriz por uma outra e como as colunas de uma matriz podem ser combinadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é feita a multiplicação de uma matriz por uma matriz . Como é e é , o resultado será uma matriz . Cada elemento dessa matriz resultante é calculado multiplicando as linhas de pelos elementos de .
Matematicamente, o elemento de é:
Passo 3
Agora, vamos pensar nas colunas de . Cada coluna é uma matriz que representa todos os elementos da coluna de . Ou seja:
Passo 4
Quando multiplicamos cada coluna bj1 colj(A) = bj1 a1j bj1 a2j vdots bj1 amj pelo escalar , estamos escalando toda a coluna pelo valor correspondente de . Isso significa que:
Passo 5
A soma dessas colunas escaladas, de b11 col1(A) + b21 col2(A) + ldots + bn1 coln(A) = sumj=1^n bj1 a1j sumj=1^n bj1 a2j vdots sumj=1^n bj1 amj = A B até , nos dá uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos correspondentes:
Resposta
Portanto, A B = b11 col1(A) + b21 col2(A) + ldots + bn1 coln(A) pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de , onde cada coluna é multiplicada pelo elemento correspondente de :