Considere A=[ai j] uma matriz de ordem m times n e B=[bi j] uma matriz de ordem n times 1. Justifique porque podemos escrever
A B=b11 col1(A)+b21 col2(A)+ldots+bn 1 coln(A)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes: de ordem e de ordem . A pergunta quer que a gente explique por que podemos escrever o produto como uma combinação linear das colunas de , multiplicadas pelos elementos de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa multiplicar uma matriz por uma outra e como as colunas de uma matriz podem ser combinadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é feita a multiplicação de uma matriz (A B)i1 = ai1 b11 + ai2 b21 + ldots + ain bn1 por uma matriz . Como é e é , o resultado será uma matriz . Cada elemento dessa matriz resultante é calculado multiplicando as linhas de pelos elementos de .
Matematicamente, o elemento de é:

Passo 3

Agora, vamos pensar nas colunas de colj(A) = a1j a2j vdots amj . Cada coluna é uma matriz que representa todos os elementos da coluna de . Ou seja:

Passo 4

Quando multiplicamos cada coluna bj1 colj(A) = bj1 a1j bj1 a2j vdots bj1 amj pelo escalar , estamos escalando toda a coluna pelo valor correspondente de . Isso significa que:

Passo 5

A soma dessas colunas escaladas, de b11 col1(A) + b21 col2(A) + ldots + bn1 coln(A) = sumj=1^n bj1 a1j sumj=1^n bj1 a2j vdots sumj=1^n bj1 amj = A B até , nos dá uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos correspondentes:

Resposta

Portanto, A B = b11 col1(A) + b21 col2(A) + ldots + bn1 coln(A) pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de , onde cada coluna é multiplicada pelo elemento correspondente de :

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