Expresse o vetor u=(1,2,-3) como uma combinação linear dos vetores v=(1,2,3) e w=(1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o vetor u = a cdot v + b cdot w como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar números (chamados de escalares) e tais que:
Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar vetores usando escalares e montar um sistema de equações para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear de forma detalhada. Substituindo os vetores, temos:
(1, 2, -3) = a cdot (1, 2, 3) + b cdot (1, 0, 2)
Isso significa que cada componente do vetor 1 = a cdot 1 + b cdot 1 2 = a cdot 2 + b cdot 0 -3 = a cdot 3 + b cdot 2 é resultado das combinações das componentes correspondentes de e :

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 1 = a + b e b = 1 - a .
Primeira equação:
2 = 2a + 0b Rightarrow 2 = 2a Rightarrow a = 1
Podemos rearranjar para encontrar b = 1 - 1 = 0 :
-3 = 3a + 2b
Segunda equação:
-3 = 3(1) + 2(0) Rightarrow -3 = 3
Agora que já encontramos , substituímos na expressão para :
Terceira equação:
Substituindo e :

Passo 4

Vemos que a terceira equação resulta em , o que não faz sentido matematicamente. Isso indica que o sistema de equações é inconsistente, ou seja, não há valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Não é possível expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e .

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