Uma matriz quadrada A de ordem N tal que A^2=IN é denominada matriz involutória. Verifique que, para qualquer theta in R, a matriz A=(cccos theta & sen theta sen theta & -cos theta) é involutória.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre matrizes involutórias, que são aquelas matrizes quadradas A = cos theta & sen theta sen theta & -cos theta onde (a matriz identidade de ordem ). Nosso objetivo aqui é verificar que, para qualquer real, a matriz
é de fato uma matriz involutória. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a & b c & d e & f g & h = ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh , que é a matriz A^2 = A cdot A = cos theta & sen theta sen theta & -cos theta cos theta & sen theta sen theta & -cos theta multiplicada por ela mesma. A multiplicação de duas matrizes (cos theta)(cos theta) + (sen theta)(sen theta) = cos^2 theta + sen^2 theta segue a regra:

[
(cos theta)(sen theta) + (sen theta)(-cos theta) = cos theta sen theta - cos theta sen theta = 0
(sen theta)(cos theta) + (-cos theta)(sen theta) = sen theta cos theta - sen theta cos theta = 0

(sen theta)(sen theta) + (-cos theta)(-cos theta) = sen^2 theta + cos^2 theta
]
Aplicando isso à nossa matriz :
Vamos calcular cada elemento de :
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):

Passo 3

Agora, vamos simplificar os elementos que obtivemos:
  • Sabemos pela identidade trigonométrica que . Então,
Portanto, os elementos (1,1) e (2,2) de cos^2 theta + sen^2 theta = 1 são iguais a 1, e os elementos (1,2) e (2,1) são iguais a 0.

Resposta

Assim, temos que
A^2 = 1 & 0 0 & 1 = I2
Portanto, a matriz é involutória, pois .

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