Uma matriz quadrada
de ordem
tal que
é denominada matriz involutória. Verifique que, para qualquer
, a matriz
é involutória.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre matrizes involutórias, que são aquelas matrizes quadradas
onde
(a matriz identidade de ordem
). Nosso objetivo aqui é verificar que, para qualquer
real, a matriz
é de fato uma matriz involutória. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a matriz
multiplicada por ela mesma. A multiplicação de duas matrizes
segue a regra:
[
]
Aplicando isso à nossa matriz
:
Vamos calcular cada elemento de
:
- Elemento (1,1):
- Elemento (1,2):
- Elemento (2,1):
- Elemento (2,2):
Passo 3
Agora, vamos simplificar os elementos que obtivemos:
- Sabemos pela identidade trigonométrica que . Então,
Portanto, os elementos (1,1) e (2,2) de
são iguais a 1, e os elementos (1,2) e (2,1) são iguais a 0.
Resposta
Assim, temos que
Portanto, a matriz
é involutória, pois
.