Uma matriz quadrada A é denominada nilpotente se existir um inteiro p >= 1 tal que A^p é igual à matriz nula. O menor inteiro p >= 1 tal que A^p é igual à matriz nula é denominado de índice de nilpotência da matriz A. Encontre o índice de nilpotência da matriz A=(lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0)
Resposta: p=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 e precisa descobrir o índice de nilpotência dela. Isso significa que queremos achar o menor número inteiro tal que seja a matriz zero. Aqui, a matriz é:
Para resolver isso, vamos precisar multiplicar a matriz por ela mesma até chegar na matriz zero e ver qual é o menor que faz isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 times 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 (ou seja, multiplicada por ). Multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira pela coluna da segunda. Então:
Então, não é a matriz zero. Continua aí.

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 times 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , que é multiplicada por :
Pronto! Agora é a matriz zero.

Resposta

O índice de nilpotência da matriz é .

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