l u+y=v+z v+2 z=y
nas incógnitas y, z in R^3.
observação: Justifica cada passo das soluções mencionando as propriedades de espaço vetorial usadas.

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações envolvendo vetores no espaço vetorial u + y = v + z v + 2z = y . O objetivo é encontrar os vetores e que satisfazem as seguintes equações:
Para resolver esse sistema, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a manipulação de equações vetoriais e as propriedades de espaços vetoriais, especialmente a adição de vetores e a multiplicação por escalares.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação do sistema:
u + y = v + z
Queremos isolar um dos vetores, por exemplo, y = v + z - u . Para isso, subtraímos de ambos os lados da equação:
Justificativa: Usamos a propriedade de que podemos adicionar ou subtrair vetores de ambos os lados de uma equação vetorial para isolar um termo, o que é uma aplicação da propriedade de fechamento da adição em espaços vetoriais.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão que encontramos para v + 2z = y na segunda equação do sistema:
v + 2z = v + z - u
Substituindo :
Justificativa: Substituir uma variável por sua expressão encontrada anteriormente é uma técnica comum para resolver sistemas de equações, garantindo que as soluções sejam consistentes com todas as equações do sistema.

Passo 4

Vamos simplificar a equação resultante:
v + 2z = v + z - u
Primeiro, subtraímos 2z = z - u de ambos os lados:
2z - z = -u
Em seguida, subtraímos z = -u de ambos os lados:
Simplificando:
Justificativa: Essa simplificação usa a propriedade de que a subtração de vetores preserva a igualdade vetorial, permitindo isolar a variável .

Passo 5

Agora que encontramos y = v + z - u , vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para y = v + (-u) - u = v - u - u = v - 2u :
Substituindo :
Justificativa: A substituição direta permite encontrar a expressão de em termos de e , usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição em espaços vetoriais.

Resposta

A solução do sistema é:
z = -u y = v - 2u
Ou, de forma vetorial completa:
(y, z) = (v - 2u, -u)

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