nas incógnitas
.
observação: Justifica cada passo das soluções mencionando as propriedades de espaço vetorial usadas.
observação: Justifica cada passo das soluções mencionando as propriedades de espaço vetorial usadas.
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de equações envolvendo vetores no espaço vetorial
. O objetivo é encontrar os vetores
e
que satisfazem as seguintes equações:
Para resolver esse sistema, vamos usar conceitos de álgebra linear, como a manipulação de equações vetoriais e as propriedades de espaços vetoriais, especialmente a adição de vetores e a multiplicação por escalares.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação do sistema:
Queremos isolar um dos vetores, por exemplo,
. Para isso, subtraímos
de ambos os lados da equação:
Justificativa: Usamos a propriedade de que podemos adicionar ou subtrair vetores de ambos os lados de uma equação vetorial para isolar um termo, o que é uma aplicação da propriedade de fechamento da adição em espaços vetoriais.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão que encontramos para
na segunda equação do sistema:
Substituindo
:
Justificativa: Substituir uma variável por sua expressão encontrada anteriormente é uma técnica comum para resolver sistemas de equações, garantindo que as soluções sejam consistentes com todas as equações do sistema.
Passo 4
Vamos simplificar a equação resultante:
Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Em seguida, subtraímos
de ambos os lados:
Simplificando:
Justificativa: Essa simplificação usa a propriedade de que a subtração de vetores preserva a igualdade vetorial, permitindo isolar a variável
.
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na expressão que encontramos para
:
Substituindo
:
Justificativa: A substituição direta permite encontrar a expressão de
em termos de
e
, usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição em espaços vetoriais.
Resposta
A solução do sistema é:
Ou, de forma vetorial completa: