Se uma matriz A quadrada de ordem N é involutória, então (IN-A)(IN+A) é a matriz nula. Isso é falso ou verdadeiro? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas chamadas involutórias. Precisamos descobrir se, se uma matriz A de ordem N é involutória, então o produto (IN-A)(IN+A) resulta na matriz nula. Para resolver, vamos usar propriedades de matrizes involutórias e realizar algumas multiplicações.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz involutória? É uma matriz A que, quando multiplicada por ela mesma, dá a matriz identidade. Ou seja:
A^2 = IN
Isso significa que A times A = IN, onde IN é a matriz identidade de ordem N.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto (IN-A)(IN+A). Usando a distribuição, temos:
(IN-A)(IN+A) = IN times IN + IN times A - A times IN - A times A
Simplificando:
= IN + A - A - A^2
Note que +A e -A se cancelam:
= IN - A^2

Passo 4

Lembrando que A é involutória, ou seja, A^2 = IN. Substituindo na expressão:
IN - A^2 = IN - IN = 0
Então, (IN-A)(IN+A) = 0, que é a matriz nula.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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