Se uma matriz
quadrada de ordem
é involutória, então
é a matriz nula. Isso é falso ou verdadeiro? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas chamadas involutórias. Precisamos descobrir se, se uma matriz
de ordem
é involutória, então o produto
resulta na matriz nula. Para resolver, vamos usar propriedades de matrizes involutórias e realizar algumas multiplicações.
Passo 2
Primeiro, o que é uma matriz involutória? É uma matriz
que, quando multiplicada por ela mesma, dá a matriz identidade. Ou seja:
Isso significa que
, onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto
. Usando a distribuição, temos:
Simplificando:
Note que
e
se cancelam:
Passo 4
Lembrando que
é involutória, ou seja,
. Substituindo na expressão:
Então,
, que é a matriz nula.
Resposta
A afirmação é verdadeira.