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Questão) O que é uma soma direta de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V qualquer. Explique e cite um exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente entender o que é uma soma direta de dois subespaços vetoriais dentro de um espaço vetorial qualquer
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de subespaço vetorial, soma de subespaços e o que torna essa soma “direta”. No final, também vamos ver um exemplo para ilustrar tudo.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial é basicamente um conjunto de vetores dentro de
que, quando você faz combinações lineares deles (ou seja, soma e multiplicação por escalar), ainda ficam dentro desse conjunto. Ou seja, se
é um subespaço de
, então para quaisquer vetores
e escalares
, a combinação
também está em
.
Passo 3
Agora, quando falamos da soma de dois subespaços
e
de
, denotamos por
. Esse conjunto é formado por todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Ou seja:
Passo 4
Mas nem toda soma de subespaços é simples assim. A soma direta, denotada por
, tem uma condição especial: a única maneira de escrever o vetor zero como soma de um vetor de
e um vetor de
é se ambos os vetores individuais forem zero. Em termos matemáticos:
Isso significa que
e
não têm vetores além do zero em comum.
Passo 5
Por que isso importa? Porque se
e
tiverem algum vetor diferente de zero em comum, então a representação de alguns vetores em
não será única. Na soma direta, garantimos que cada vetor em
(ou no subespaço formado pela soma) pode ser escrito de maneira única como soma de um vetor de
e outro de
.
Passo 6
Vamos para um exemplo prático. Suponha que
, e sejam:
Aqui,
é o eixo
e
é o eixo
. A interseção
, então a soma
é direta, ou seja,
. Cada vetor em
pode ser escrito de forma única como soma de um vetor de
e outro de
.
Resposta
Uma soma direta de dois subespaços vetoriais
e
de um espaço vetorial
é o conjunto
formado pela soma
, onde a interseção
contém apenas o vetor zero. Isso garante que cada vetor em
é a soma única de um vetor de
e outro de
. Por exemplo, no espaço
, os eixos
e
formam uma soma direta, pois
e qualquer vetor em
pode ser escrito unicamente como soma de um vetor de
e outro de
.