Considere a matriz
A=[rrrr 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1 ]
(b) o posto e a nulidade da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o posto e a nulidade da matriz . Isso está relacionado com a matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre classificação de matrizes usando o posto. Para resolver isso, vamos precisar realizar operações de linha para simplificar a matriz e identificar o número de linhas independentes, que nos dá o posto. Depois, usamos a relação entre posto e nulidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1 :
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada forma escalonada, usando operações elementares de linha.

Passo 3

Começamos com a primeira linha como pivô. Queremos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira linha.
  1. Linha 2: 1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & -15 & -21 & -6 0 & -2 & -4 & 0
    Então, a Linha2 fica:
  2. Linha 3:
    Então, a Linha3 fica:
  3. Linha 4:
    Então, a Linha4 fica:
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O primeiro elemento não-nulo é 5 na Linha2, que será nosso próximo pivô. Queremos zerar os elementos abaixo dele.
  1. Linha3: 1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -65 & 45
    Então, a Linha3 fica:
  2. Linha4:
    Então, a Linha4 fica:
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos agora simplificar a Linha4 para facilitar. Multiplicamos a Linha4 por Linha4 times (-56) = [0 0 1 -106] = [0 0 1 -53] para tornar o coeficiente da terceira coluna igual a 1.
1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -53
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a matriz para que a Linha4 fique acima da Linha3, facilitando a visualização dos pivôs.
1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & 0 & 1 & -53 0 & 0 & 0 & 0
Com isso, identificamos que as linhas 1, 2 e 3 têm pivôs (elementos não-nulos que iniciam cada linha), totalizando 3 pivôs.

Resposta

O posto da matriz 3 + nulidade = 4 implies nulidade = 1 é 3. Usando o Teorema do Posto-Nulidade, que diz que posto + nulidade = número de colunas, temos:
Portanto, a nulidade da matriz é 1.

Exercícios relacionados