Considere A=[ai j] a matriz simétrica de ordem 3 , definida por
ai j=rcc 2 i^2-j & se & i
(b) Determine o posto e a nulidade de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma matriz simétrica de ordem 3, ou seja, uma matriz 3x3 onde os elementos são iguais em relação à diagonal principal. O exercício pede para determinar o posto e a nulidade dessa matriz. Para isso, vamos precisar entender o que são posto e nulidade, e como calculá-los usando propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aij = 2i^2 - j & se i < j 1 & se i = j usando a função dada:
A = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 5 -1 & 5 & 1
Como a matriz é simétrica, os elementos abaixo da diagonal são iguais aos acima. Vamos calcular cada elemento:
  • Para :
    • :
    • :
    • :
  • Para :
    • :
    • :
    • :
  • Para :
    • :
    • :
    • :
Então, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora que temos a matriz Posto(A) + Nulidade(A) = n , vamos entender o que são posto e nulidade.
  • Posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Em outras palavras, é a dimensão do espaço gerado pelas colunas da matriz.
  • Nulidade é o número de soluções livres na equação , ou seja, é a dimensão do núcleo da matriz.
Sabendo que, para uma matriz de ordem , temos a relação:
No nosso caso, . Então, se encontrarmos o posto, podemos achar a nulidade facilmente.

Passo 4

Para encontrar o posto da matriz 1 & 0 & -1 0 & 1 & 5 -1 & 5 & 1 , vamos verificar o número de pivôs na forma reduzida por linhas (forma escalonada). Vamos fazer isso passo a passo.
Matriz 1 & 0 & -1 0 & 1 & 5 0 & 5 & 0 :
1 & 0 & -1 0 & 1 & 5 0 & 0 & -25
Primeiro, observamos que já temos um 1 na posição , então vamos usar ele para eliminar o elemento abaixo dele na coluna 1.
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
Agora, vamos usar o 1 na posi�o para eliminar o elemento abaixo dele na coluna 2.
Linha 3 = Linha 3 - 5 * Linha 2:
Agora, a matriz está na forma escalonada, e cada coluna tem um pivô (um 1 na diagonal principal). Portanto, temos três pivôs.

Passo 5

Como encontramos três pivôs, isso significa que o posto da matriz Posto(A) + Nulidade(A) = 3 é 3. Agora, usando a relação que mencionamos:
3 + Nulidade(A) = 3 implies Nulidade(A) = 0
Substituindo o posto:

Resposta

O posto da matriz é 3 e a nulidade é 0.

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