Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(b) ( ) Se então a nulidade de A é igual a 0 (zero).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos a matriz 1 & 1 2 & 1 4 & 2 e precisamos decidir se a nulidade dessa matriz é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como espaço nulo, posto da matriz e a relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, é importante entender que a nulidade de uma matriz Posto(A) + Nulidade(A) = n é o número de soluções livres na equação . Além disso, sabemos pela teoria que:
onde é o número de colunas da matriz .
Passo 3
Vamos encontrar o posto da matriz A = 1 & 1 2 & 1 4 & 2 . O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes. Para isso, vamos reduzir a matriz para a forma escalonada utilizando operações de linha.
Passo 4
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô.
R2' = R2 - 2R1 Rightarrow 1 & 1 0 & -1 4 & 2
Passo 5
Agora, subtraímos 4 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô.
R3' = R3 - 4R1 Rightarrow 1 & 1 0 & -1 0 & -2
Passo 6
Multiplicamos a segunda linha por -1 para facilitar os cálculos futuros.
R2' = -R2 Rightarrow 1 & 1 0 & 1 0 & -2
Passo 7
Somamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha para eliminar o elemento abaixo do segundo pivô.
R3' = R3 + 2R2 Rightarrow 1 & 1 0 & 1 0 & 0
Passo 8
Agora a matriz está na forma escalonada e podemos ver que há 2 pivôs (elementos não nulos nas posições (1,1) e (2,2)). Portanto, o posto de é 2.
Passo 9
Usando a relação Nulidade(A) = n - Posto(A) = 2 - 2 = 0 , onde (número de colunas):
Resposta
A nulidade de é igual a 0, portanto a afirmação é verdadeira.