Considere as matrizes
A=[rrr 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 ] e B=[rrr 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 2 & -7 & 3 ]
(b) Chamamos de matriz elementar qualquer matriz resultante da aplicação de uma única operação elementar nas linhas da matriz identidade. Com as operações elementares utilizadas no item (a), encontre duas matrizes elementares E1 e E2, em que E1 é obtida da matriz identidade aplicando a 1^ a operação elementar usada no item (a) e E2 é também obtida da matriz identidade utilizando a 2^a operação elementar utilizada no item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar duas matrizes elementares e . Mas antes, vamos entender o que é uma matriz elementar. Matriz elementar é aquela que a gente consegue a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar nas linhas. As operações elementares podem ser:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
No caso, o exercício menciona que essas operações foram usadas no item (a). Mesmo sem ver o item (a), vamos supor que foram usadas duas operações diferentes para transformar a matriz na matriz . Nosso objetivo é identificar essas duas operações e aplicar cada uma delas na matriz identidade para obter e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as matrizes A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 e B = 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 2 & -7 & 3 e :
Observando e , percebemos que a primeira linha de é igual à segunda linha de e a segunda linha de é igual à primeira linha de . Isso sugere que a primeira operação elementar foi trocar a primeira e a segunda linhas de .

Passo 3

A segunda operação pode estar relacionada à terceira linha. Notamos que na terceira linha de temos , que parece ser a segunda linha de com o último elemento alterado. Isso sugere que a segunda operação foi adicionar à terceira linha de um múltiplo da segunda linha.
Então, resumindo as operações assumidas:
  1. Operação 1: Trocar a primeira linha pela segunda linha.
  2. Operação 2: Adicionar à terceira linha um múltiplo da segunda linha.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essas operações na matriz identidade para encontrar I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 e E1 = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 .
Para E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 : Trocar a primeira e a segunda linhas da identidade.
A matriz identidade de ordem 3 é:
Após trocar a primeira e a segunda linhas:
Para : Adicionar à terceira linha da identidade um múltiplo da segunda linha.
Supondo que o múltiplo seja 1 (já que não temos o valor exato), a operação fica assim:

Resposta

As matrizes elementares são:
E1 = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 e E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1

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