Encontre o determinante da matriz
B=[rrrrr 2 & 0 & 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 & 1 & -2 3 & 1 & 0 & -2 & 2 1 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o determinante da matriz . Para isso, vamos usar o conteúdo de matrizes e determinantes, especialmente a redução de linhas para simplificar o cálculo. Vamos precisar realizar operações nas linhas da matriz para transformá-la em uma matriz triangular, onde o determinante é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz B = 2 & 0 & 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 & 1 & -2 3 & 1 & 0 & -2 & 2 1 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0 :

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior (onde todos os números abaixo da diagonal principal são zero). Para isso, vamos usar operações de linha: multiplicar uma linha por um número e somar com outra linha.

Passo 4

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Queremos que a posição (2,1) seja zero. Para isso, podemos adicionar 0.5 vezes a primeira linha à segunda linha.
Operação: 2 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2.5 & 1.5 & -2 3 & 1 & 0 & -2 & 2 1 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0
Calculando:
  • Nova :
Nova matriz:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento na posição (3,1). Queremos que seja zero. Podemos subtrair 1.5 vezes a primeira linha da terceira linha.
Operação: 2 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2.5 & 1.5 & -2 0 & 1 & -1.5 & -3.5 & 2 1 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0
Calculando:
  • Nova :
Nova matriz:

Passo 6

Vamos eliminar o elemento na posição (4,1). Queremos que seja zero. Podemos subtrair 0.5 vezes a primeira linha da quarta linha.
Operação: 2 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2.5 & 1.5 & -2 0 & 1 & -1.5 & -3.5 & 2 0 & 0 & -0.5 & 2.5 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0
Calculando:
  • Nova :
Nova matriz:

Passo 7

Agora, vamos focar na segunda coluna. Já temos um 1 na posição (3,2). Vamos usar essa linha para eliminar os elementos acima e abaixo dela na segunda coluna.
Primeiro, vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar.
Operação: Trocar 2 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1.5 & -3.5 & 2 0 & 0 & 2.5 & 1.5 & -2 0 & 0 & -0.5 & 2.5 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0 e
Nova matriz:

Passo 8

Com o 1 na posição (2,2), podemos eliminar os zeros acima e abaixo, mas como já temos zeros acima nesse caso, vamos seguir para a próxima coluna.
Vamos trabalhar na terceira coluna. Temos 2.5 na posição (3,3). Vamos usar essa linha para eliminar o elemento na posição (4,3).
Operação: 2 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1.5 & -3.5 & 2 0 & 0 & 2.5 & 1.5 & -2 0 & 0 & 0 & 2.8 & 0.6 0 & 0 & 0 & 2 & 0
Calculando:
  • Nova :
Nova matriz:

Passo 9

Agora, vamos deixar a matriz na forma triangular superior. Vamos eliminar o elemento na posição (5,4). Podemos fazer isso subtraindo uma fração da quarta linha da quinta linha.
Operação: 2 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1.5 & -3.5 & 2 0 & 0 & 2.5 & 1.5 & -2 0 & 0 & 0 & 2.8 & 0.6 0 & 0 & 0 & 0 & -0.428
Calculando aproximadamente:
  • Nova :
Nova matriz:

Passo 10

Agora que a matriz está triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos multiplicar:
det(B) = 2 times 1 times 2.5 times 2.8 times (-0.428)
Calculando passo a passo:
  • ( 14 \times (-0.428) \approx -6
$$

Resposta

O determinante da matriz é aproximadamente .

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