Verifique se a matriz
A=[rrrr 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1 ]
é linha equivalente a matriz identidade I4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho 4x4 e queremos descobrir se ela é equivalente por linhas à matriz identidade . Isso significa que, através de operações nas linhas da matriz , conseguimos transformá-la na matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar a matriz passo a passo até chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz A = 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1 :
Nosso objetivo é transformar em usando operações nas linhas (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra).

Passo 3

Vamos começar pela primeira coluna. O primeiro elemento já é 1, que é ótimo! Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2 (L2): Vamos adicionar 2 vezes a Linha 1 (L1) à L2 para zerar o elemento -2.
    1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1

Passo 4

  • Linha 3 (L3): Vamos subtrair 6 vezes a Linha 1 (L1) da L3 para zerar o 6.
    1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & -15 & -21 & -6 1 & 0 & -1 & 1
    1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & -15 & -21 & -6 0 & -2 & -4 & 0
  • Linha 4 (L4): Vamos subtrair a Linha 1 (L1) da L4 para zerar o 1.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento na posição (2,2) é 5. Vamos torná-lo 1 dividindo a Linha 2 (L2) por 5.
1 & 2 & 3 & 1 0 & 1 & 75 & 25 0 & -15 & -21 & -6 0 & -2 & -4 & 0

Passo 6

Com o 1 na posição (2,2), vamos zerar os outros elementos da segunda coluna:
  • Linha 1 (L1): Subtrair 2 vezes a Linha 2 da L1.
    1 & 0 & 15 & 15 0 & 1 & 75 & 25 0 & -15 & -21 & -6 0 & -2 & -4 & 0
    1 & 0 & 15 & 15 0 & 1 & 75 & 25 0 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & -4 & 0
  • Linha 3 (L3): Adicionar 15 vezes a Linha 2 à L3.
    1 & 0 & 15 & 15 0 & 1 & 75 & 25 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 25 & 45
  • Linha 4 (L4): Adicionar 2 vezes a Linha 2 à L4.

Passo 7

Vamos para a terceira coluna. Observamos que a terceira linha está toda zerada, o que indica que a matriz pode não ser inversível. Mas vamos continuar para ter certeza.
O próximo passo seria tentar tornar o elemento na posição (4,3) igual a 1. Primeiro, multiplicamos a Linha 4 (L4) por 1 & 0 & 15 & 15 0 & 1 & 75 & 25 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 para simplificar:

Passo 8

Agora, vamos usar a Linha 4 para zerar os elementos acima dela na terceira coluna:
  • Linha 1 (L1): Subtrair 1 & 0 & 0 & -15 0 & 1 & 75 & 25 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 vezes a Linha 4 da L1.
    1 & 0 & 0 & -15 0 & 1 & 0 & -85 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2
  • Linha 2 (L2): Subtrair vezes a Linha 4 da L2.

Passo 9

Observamos que temos uma linha toda zerada na matriz, o que implica que a matriz não é invertível e, portanto, não é equivalente por linhas à matriz identidade .

Resposta

A matriz não é linha equivalente à matriz identidade .

Exercícios relacionados