Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio característico de e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear representado por uma matriz específica em . O exercício pede para a gente encontrar o polinômio característico de e listar todos os possíveis polinômios mínimos de . Para isso, vamos precisar saber como calcular o polinômio característico e entender o que é o polinômio mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o polinômio característico. Esse polinômio é uma ferramenta que a gente usa para encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz que representa o operador linear. Para calcular o polinômio característico, a gente usa a seguinte fórmula:
Aqui, é a matriz do operador linear, é um número escalar, e é a matriz identidade da mesma dimensão que .
Passo 3
Vamos calcular o determinante para a matriz dada:
Subtraindo da diagonal principal, temos:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir o produto:
Agora, somando o 1:
Então, o polinômio característico de é:
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o polinômio mínimo. O polinômio mínimo de uma matriz é o polinômio monico de menor grau que anula a matriz, ou seja, quando você substitui a matriz no polinômio, o resultado é a matriz nula. Além disso, o polinômio mínimo divide o polinômio característico.
Para encontrar os candidatos ao polinômio mínimo, precisamos considerar os fatores do polinômio característico e verificar quais deles satisfazem as condições do polinômio mínimo.
Passo 5
Observando o polinômio característico que encontramos:
Podemos fatorar esse polinômio:
Isso significa que a matriz tem um único valor próprio, , com multiplicidade algébrica 2.
Os candidatos ao polinômio mínimo devem dividir o polinômio característico e ter os mesmos valores próprios. Portanto, os possíveis polinômios mínimos são:
Resposta
O polinômio característico de é . Os candidatos ao polinômio mínimo de são e .