Considere o operador linear definido por
(a) Encontre todos os autovalores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por:
Nosso objetivo aqui é encontrar todos os autovalores de . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente estudando autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar montar a matriz associada a e resolver sua equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa o operador linear . Lembrando que cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores canônicos através de .
Então, vamos calcular:
Portanto, a matriz de é:

Passo 3

Agora que temos a matriz , vamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade 3x3. Vamos montar :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de e igualar a zero para achar os autovalores.
Calculando o determinante:
Vamos expandir esse determinante:

Passo 5

Vamos calcular os menores:
  1. Primeiro menor:
  1. Segundo menor:
  1. Terceiro menor:

Passo 6

Agora, substituindo os menores na expressão do determinante:
Vamos expandir:
Simplificando:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Simplificando mais:
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 7

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar as raízes possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes racionais são divisores de 16 divididos por divisores de 1, ou seja, .
Vamos testar :
Então, é uma raiz.

Passo 8

Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica:
Agora, vamos resolver a equação quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:

Resposta

Os autovalores de são (com multiplicidade 2) e .

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