Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por:
Nosso objetivo aqui é encontrar todos os autovalores de . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente estudando autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar montar a matriz associada a e resolver sua equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa o operador linear . Lembrando que cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores canônicos através de .
Então, vamos calcular:
Portanto, a matriz de é:
Passo 3
Agora que temos a matriz , vamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade 3x3. Vamos montar :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de e igualar a zero para achar os autovalores.
Calculando o determinante:
Vamos expandir esse determinante:
Passo 5
Vamos calcular os menores:
Primeiro menor:
Segundo menor:
Terceiro menor:
Passo 6
Agora, substituindo os menores na expressão do determinante:
Vamos expandir:
Simplificando:
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Simplificando mais:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar as raízes possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes racionais são divisores de 16 divididos por divisores de 1, ou seja, .
Vamos testar :
Então, é uma raiz.
Passo 8
Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica: