Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio minimal de um operador linear que transforma um vetor em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, polinômios característicos e polinômio minimal. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador por uma matriz. Para isso, observamos como cada componente de depende de :
Então, a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz . O polinômio característico é dado por:
onde é a matriz identidade e é um escalar. Subtraindo da diagonal de :
Então, o determinante é:
Vamos calcular esse determinante.
Passo 4
Calculando o determinante:
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Agora, substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o polinômio característico , podemos encontrar o polinômio minimal. O polinômio minimal é o polinômio monico de menor grau que anula o operador , ou seja, .
Primeiro, vamos fatorar . Vamos procurar raízes racionais possíveis usando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são .
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar como .
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Portanto, o polinômio característico fatorado é:
Para o polinômio minimal, observamos os fatores sem a multiplicidade. Assim, o polinômio minimal será: