Considere o operador linear definido por
(a) Encontre o polinômio minimal de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio minimal de um operador linear que transforma um vetor em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, polinômios característicos e polinômio minimal. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador por uma matriz. Para isso, observamos como cada componente de depende de :
Então, a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz . O polinômio característico é dado por:
onde é a matriz identidade e é um escalar. Subtraindo da diagonal de :
Então, o determinante é:
Vamos calcular esse determinante.

Passo 4

Calculando o determinante:
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Agora, substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos o polinômio característico , podemos encontrar o polinômio minimal. O polinômio minimal é o polinômio monico de menor grau que anula o operador , ou seja, .
Primeiro, vamos fatorar . Vamos procurar raízes racionais possíveis usando o teorema das raízes racionais. As possíveis raízes são .
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar como .
Agora, fatorando o polinômio quadrático:
Portanto, o polinômio característico fatorado é:
Para o polinômio minimal, observamos os fatores sem a multiplicidade. Assim, o polinômio minimal será:

Resposta

O polinômio minimal de é .

Exercícios relacionados

Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio minimal de e verifique se é diagonalizável.
Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio característico de e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de .
Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovetores associados a cada autovalor de .
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de e ?
d)