Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio minimal de e verifique se é diagonalizável.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos trabalhando com um operador linear no espaço , representado por uma matriz dada. Precisamos encontrar o polinômio minimal de e verificar se é diagonalizável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como valores próprios, polinômios característicos e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Identificando os Valores Próprios
Primeiro, observamos que a matriz de é triangular superior, o que facilita a identificação dos valores próprios: eles são os elementos da diagonal principal. Assim, os valores próprios de são:
Cada valor próprio aparece duas vezes, indicando multiplicidades algébricas de 2 para cada.

Passo 3

Determinando o Polinômio Minimal
O polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula a matriz . Para encontrá-lo, precisamos identificar o tamanho máximo dos blocos de Jordan associados a cada valor próprio.
Observando a matriz:
Vemos que:
  • Para , a submatriz superior forma um bloco de Jordan de tamanho 2.
  • Para , a submatriz inferior também forma um bloco de Jordan de tamanho 2.
Portanto, o polinômio minimal é:

Passo 4

Verificando se é Diagonalizável
Uma matriz é diagonalizável se e somente se o polinômio minimal for um produto de fatores lineares distintos, ou seja, sem potências maiores que 1. No nosso caso:
Como cada fator está elevado ao quadrado, isso indica que existem blocos de Jordan de tamanho maior que 1. Além disso, podemos verificar as dimensões dos espaços próprios (ou seja, a quantidade de vetores próprios) para cada valor próprio.
Para :
Resolvendo , encontramos que o espaço próprio tem dimensão 1.
Para :
Resolvendo , também encontramos que o espaço próprio tem dimensão 1.
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é menor que a dimensão do espaço ( ), isso confirma que não é diagonalizável.

Resposta

O polinômio minimal de é e o operador não é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio característico de e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de .
Considere o operador linear definido por
(d) Se possível, determine uma base de cujos elementos são autovetores de .
Considere o operador linear definido por
(a) Encontre o polinômio minimal de .
Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovetores associados a cada autovalor de .