(d) Se possível, determine uma base de cujos elementos são autovetores de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por
O que a gente precisa descobrir aqui é se existe uma base de formada por autovetores de . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores na matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são números tais que existe um vetor não nulo que satisfaz . Para achar esses , a gente resolve o determinante da matriz igual a zero, ou seja:
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.
Passo 3
Calculando o determinante de :
Simplificando isso, chegamos à equação cúbica:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores (com multiplicidade 2) e .
Passo 4
Agora que temos os autovalores e , vamos achar os autovetores correspondentes a cada um.
Para :
Resolvemos :
[
]
Simplificando, descobrimos que os autovetores são todos múltiplos de .
Para :
Resolvemos :
[
]
Aqui, os autovetores são combinações lineares de e .
Passo 5
Agora, vamos verificar se temos uma base composta por esses autovetores. Temos três vetores:
Esses vetores são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Assim, eles formam uma base de .