Considere o operador linear T: P2 P2 definido por T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2. Determine: Os autovetores associados a cada autovalor de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovetores de um operador linear que age no espaço das polinômios de grau até 2, ou seja, . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar esses autovalores e os respectivos autovetores de uma matriz que representa o operador .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T(x + y t + z t^2) = y + x t + z t^2 como uma matriz. O operador A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 está definido por:
Isso significa que troca o coeficiente de com o de , mantendo o de igual. Podemos representar isso como uma matriz :

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver o determinante da matriz igual a zero:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1 cdot (1 - lambda) = (lambda^2)(1 - lambda) - (1 - lambda) = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = 0
O determinante dessa matriz é:

Passo 5

Resolvendo a equação 1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1 , temos:
lambda^2 - 1 = 0 Rightarrow lambda = 1 ou lambda = -1
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.

Para -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 x y z = 0 0 0 :
Resolvemos - x + y = 0 Rightarrow y = x :
[
x - y = 0 Rightarrow y = x
0 = 0 Rightarrow independente de z

v = x 1 1 0 + z 0 0 1
]
Isso nos dá as equações:
1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 x y z = 0 0 0
x + y = 0 Rightarrow y = -x
x + y = 0 Rightarrow y = -x
Então, os autovetores são da forma 2z = 0 Rightarrow z = 0 , ou seja:
v = x 1 -1 0

Para :
Resolvemos :
[


]
Isso nos dá as equações:
Então, os autovetores são da forma , ou seja:

Resposta

Os autovetores de 1 1 0 são todos os vetores da forma 0 0 1 associados ao autovalor 1 -1 0 e os vetores da forma associados ao autovalor .

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