Considere o operador linear definido por . Determine: Os autovetores associados a cada autovalor de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovetores de um operador linear que age no espaço das polinômios de grau até 2, ou seja, . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar esses autovalores e os respectivos autovetores de uma matriz que representa o operador .
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. O operador está definido por:
Isso significa que troca o coeficiente de com o de , mantendo o de igual. Podemos representar isso como uma matriz :
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver o determinante da matriz igual a zero:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 x y z = 0 0 0 :
Resolvemos - x + y = 0 Rightarrow y = x :
[ x - y = 0 Rightarrow y = x 0 = 0 Rightarrow independente de z
v = x 1 1 0 + z 0 0 1
]
Isso nos dá as equações:
1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 x y z = 0 0 0
x + y = 0 Rightarrow y = -x
x + y = 0 Rightarrow y = -x
Então, os autovetores são da forma 2z = 0 Rightarrow z = 0 , ou seja:
v = x 1 -1 0
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Então, os autovetores são da forma , ou seja:
Resposta
Os autovetores de 1 1 0 são todos os vetores da forma 0 0 1 associados ao autovalor 1 -1 0 e os vetores da forma associados ao autovalor .