Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear representado por uma matriz na base canônica de . Nosso objetivo é encontrar o polinômio minimal de e verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar trabalhar com polinômios característicos, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de [T]alpha^alpha = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 . Esse polinômio é dado por T - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda , onde det(T - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 2 cdot [(-1)(2 - lambda) - 0 cdot 1] + 1 cdot [(-1) cdot 2 - (3 - lambda) cdot 0] é a matriz identidade e é uma variável.
Então, é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para encontrar os outros fatores:
Dividindo por :
Agora, fatoramos :
Então, o polinômio característico fatorado é:
Portanto, os autovalores são , e .
Passo 5
Para encontrar o polinômio minimal, precisamos identificar o menor polinômio monico que anula mT(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3) . Como os autovalores são distintos e o polinômio característico se decompõe em fatores lineares distintos, o polinômio minimal será o mesmo do polinômio característico:
Passo 6
Agora, vamos verificar se mT(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3) é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se e somente se o polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos, ou seja, não possui multiplicidades maiores que 1.
No nosso caso, o polinômio minimal é:
Todos os fatores são distintos, então é diagonalizável.