Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 ]
Encontre: O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear representado por uma matriz na base canônica de . Nosso objetivo é encontrar o polinômio minimal de e verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar trabalhar com polinômios característicos, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de [T]alpha^alpha = 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 . Esse polinômio é dado por T - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda , onde det(T - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1] - 2 cdot [(-1)(2 - lambda) - 0 cdot 1] + 1 cdot [(-1) cdot 2 - (3 - lambda) cdot 0] é a matriz identidade e é uma variável.
A matriz de é:
Então, subtraímos da diagonal principal:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 3

Vamos simplificar o determinante passo a passo:
Primeiro, calculemos o menor de (3 - lambda)(2 - lambda) - 2 cdot 1 = (3 cdot 2) - 3lambda - 2lambda + lambda^2 - 2 = 6 - 5lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4 :
-2 cdot [(-1)(2 - lambda)] = -2 cdot (-2 + lambda) = 4 - 2lambda
Agora, o segundo termo:
1 cdot [(-1) cdot 2] = -2
E o terceiro termo:
det(T - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 4 - 2lambda - 2
Agora, somando todos os termos:
1 cdot (lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda(lambda^2 - 5lambda + 4) = lambda^2 - 5lambda + 4 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda
Vamos expandir -lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 :
-lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 + 4 - 2lambda - 2 = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
Agrupando os termos:
p(lambda) = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
Então, somando com os outros termos:
p(lambda) = lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6
Portanto, o polinômio característico é:
Podemos multiplicar por para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o polinômio característico para encontrar os autovalores de 1 - 6 + 11 - 6 = 0 .
Procuramos raízes inteiras de p(lambda) = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) . Testando lambda^2 - 5lambda + 6 = (lambda - 2)(lambda - 3) :
p(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3)
Então, é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para encontrar os outros fatores:
Dividindo por :
Agora, fatoramos :
Então, o polinômio característico fatorado é:
Portanto, os autovalores são , e .

Passo 5

Para encontrar o polinômio minimal, precisamos identificar o menor polinômio monico que anula mT(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3) . Como os autovalores são distintos e o polinômio característico se decompõe em fatores lineares distintos, o polinômio minimal será o mesmo do polinômio característico:

Passo 6

Agora, vamos verificar se mT(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3) é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se e somente se o polinômio minimal se decompõe em fatores lineares distintos, ou seja, não possui multiplicidades maiores que 1.
No nosso caso, o polinômio minimal é:
Todos os fatores são distintos, então é diagonalizável.

Resposta

O polinômio minimal de é e é diagonalizável.

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