Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio minimal de um operador linear definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio minimal e como encontrá-lo usando conceitos de álgebra linear, como autovalores e polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear na forma de uma matriz. Isso facilita os cálculos. A matriz que representa é:
Cada coluna de corresponde aos coeficientes de , e nas imagens de .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o polinômio característico de p(lambda) = det(A - lambda I) . Esse polinômio é dado por:
Para encontrar o polinômio minimal, precisamos fatorar o polinômio característico. Vamos procurar as raízes de lambda^3 - 4lambda^2 + 5lambda - 2 = 0 :
1 - 4 + 5 - 2 = 0 Então, lambda = 1 é raiz
Testando possíveis raízes racionais (±1, ±2):
Para (lambda - 1)(lambda^2 - 3lambda + 2) = 0 :
= (lambda - 1)(lambda - 2) ãé
Dividindo o polinômio por :
Fatorando :
Então, as raízes são e .
Passo 7
Agora, o polinômio característico fatorado é:
p(lambda) = (lambda - 1)^2 (lambda - 2)
Como o polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula m(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2) e que divide o polinômio característico, o polinômio minimal será:
Isso porque tem multiplicidade 2 no polinômio característico, mas precisamos apenas de uma vez no minimal para que .