Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-2 y+2 z, 4 x-4 y+6 z, 2 x-3 y+5 z)
(a) Encontre o polinômio minimal de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio minimal de um operador linear T(x, y, z) = (3x - 2y + 2z, , 4x - 4y + 6z, , 2x - 3y + 5z) definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio minimal e como encontrá-lo usando conceitos de álgebra linear, como autovalores e polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 3 & -2 & 2 4 & -4 & 6 2 & -3 & 5 na forma de uma matriz. Isso facilita os cálculos. A matriz que representa é:
Cada coluna de corresponde aos coeficientes de , e nas imagens de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o polinômio característico de p(lambda) = det(A - lambda I) . Esse polinômio é dado por:
A - lambda I = 3 - lambda & -2 & 2 4 & -4 - lambda & 6 2 & -3 & 5 - lambda
onde é a matriz identidade de ordem 3 e é um escalar.
Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(-4 - lambda)(5 - lambda) - 6(-3)] - (-2)[4(5 - lambda) - 6 times 2] + 2[4(-3) - (-4 - lambda) times 2]
Vamos simplificar cada parte:
  1. det(A - lambda I) = (3 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2) - (-2)(8 - 4lambda) + 2(-4 + 2lambda)
  2. = (3 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2) + 16 - 8lambda - 8 + 4lambda , então = (3 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2) + 8 - 4lambda
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos expandir = 3lambda^2 - 3lambda - 6 - lambda^3 + lambda^2 + 2lambda :
= -lambda^3 + 4lambda^2 - lambda - 6
det(A - lambda I) = -lambda^3 + 4lambda^2 - lambda - 6 + 8 - 4lambda
Então, substituindo de volta:
= -lambda^3 + 4lambda^2 - 5lambda + 2
p(lambda) = lambda^3 - 4lambda^2 + 5lambda - 2
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 6

Para encontrar o polinômio minimal, precisamos fatorar o polinômio característico. Vamos procurar as raízes de lambda^3 - 4lambda^2 + 5lambda - 2 = 0 :
1 - 4 + 5 - 2 = 0 Então, lambda = 1 é raiz
Testando possíveis raízes racionais (±1, ±2):
  • Para (lambda - 1)(lambda^2 - 3lambda + 2) = 0 :
= (lambda - 1)(lambda - 2) ãé
Dividindo o polinômio por :
Fatorando :
Então, as raízes são e .

Passo 7

Agora, o polinômio característico fatorado é:
p(lambda) = (lambda - 1)^2 (lambda - 2)
Como o polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula m(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2) e que divide o polinômio característico, o polinômio minimal será:
Isso porque tem multiplicidade 2 no polinômio característico, mas precisamos apenas de uma vez no minimal para que .

Resposta

O polinômio minimal de é .

Exercícios relacionados

Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 ]
Encontre: O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.
Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3= (-10,18,7) ?
d) (-1,2,3)
Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em V por
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, x2)
V é um espaço vetorial com estas operações? Justifique.
Determine as equações vetoriais das seguintes retas, e represente-as graficamente:
d) reta que passa pelos pontos A(2,-3,4) e B(2,-1,3).