Quais dos seguintes vetores são combinação linear de v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3= (-10,18,7) ?
d) (-1,2,3)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma pergunta de combinação linear. A gente precisa descobrir se o vetor (-1,2,3) pode ser formado combinando os vetores v1=(5,-3,1), v2=(0,4,3) e v3=(-10,18,7). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente resolver um sistema de equações para ver se existe uma combinação que funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear que dá o vetor (-1,2,3). Isso significa que existem números a, b e c tais que:
a cdot (5, -3, 1) + b cdot (0, 4, 3) + c cdot (-10, 18, 7) = (-1, 2, 3)

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Ou seja, igualamos cada posição dos vetores:
  1. Na primeira posição:
5a + 0b -10c = -1
  1. Na segunda posição:
-3a + 4b + 18c = 2
  1. Na terceira posição:
a + 3b + 7c = 3

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
5a - 10c = -1 -3a + 4b + 18c = 2 a + 3b + 7c = 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, resolvemos a primeira equação para a:
5a - 10c = -1 Rightarrow a = -1 + 10c5 Rightarrow a = -15 + 2c

Passo 6

Agora, substituímos a na terceira equação:
(-15 + 2c) + 3b + 7c = 3 Rightarrow -15 + 2c + 3b + 7c = 3 Rightarrow 3b + 9c = 3 + 15 Rightarrow 3b + 9c = 165 Rightarrow b + 3c = 1615 Rightarrow b = 1615 - 3c

Passo 7

Agora, substituímos a e b na segunda equação:
-3(-15 + 2c) + 4(1615 - 3c) + 18c = 2 Rightarrow 35 -6c + 6415 -12c + 18c = 2 Rightarrow 35 + 6415 = 2 Rightarrow 915 + 6415 = 7315 neq 2

Passo 8

Percebemos que a soma 7315 não é igual a 2, o que indica que não existe uma combinação linear que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

O vetor (-1,2,3) não é uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.

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