Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em por
é um espaço vetorial com estas operações? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto que é formado por todos os pares ordenados de números reais, ou seja, onde e são números reais. Definimos duas operações nesse conjunto:
Adição:
Multiplicação por escalar:
A pergunta é: será que com essas operações forma um espaço vetorial? Para responder, vamos lembrar dos axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial deve satisfazer as oito propriedades básicas dos vetores. Vamos conferir cada uma com as operações definidas:
Comutatividade da adição:
Aqui, , que é igual a . Então, essa propriedade é satisfeita.
Associatividade da adição:
Calculando ambos os lados, vemos que a soma dos pares ordenados é associativa, então essa também é satisfeita.
Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
Claro, somar zero aos componentes não muda o vetor, então o vetor zero existe.
Inverso aditivo: Para cada vetor , existe tal que
O inverso seria , que ao ser somado a dá .
Passo 3
Agora, vamos verificar as propriedades relacionadas à multiplicação por escalar:
Compatibilidade da multiplicação por escalares:
Vamos calcular:
Os dois lados são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Calculando:
Portanto, o elemento neutro funciona.
Passo 4
Continuando com as últimas propriedades:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
Calculando:
Os dois lados são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Calculando:
Aqui, percebemos que resulta em , enquanto dá . Esses dois não são iguais a menos que para todo vetor, o que não é o caso geral.
Resposta
Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois a propriedade distributiva da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.