Considere e bases de e de , respectivamente. Seja uma transformação linear tal que .
Determine uma base e a dimensão para o núcleo e para o conjunto imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos duas bases: uma para o espaço chamada e outra para chamada . A transformação linear está representada por uma matriz , que é uma matriz :
A missão é descobrir uma base e a dimensão tanto para o núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) quanto para a imagem de (o conjunto de todos os vetores que pode alcançar).
Pra resolver isso, vamos precisar entender como essa matriz representa a transformação e usar conceitos de espaço vetorial como bases, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . Já a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que são resultado de para algum .
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação . Mas como está representado na base de e na base de , precisamos primeiro entender como passar entre essas bases e a base padrão.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz de na base padrão. Para isso, precisamos das matrizes de mudança de base para e .
A matriz de mudança de base de para a base padrão de é formada colocando os vetores de como colunas:
Da mesma forma, a matriz de mudança de base de para a base padrão de é:
Agora, a matriz de na base padrão é dada por:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar , a inversa de :
A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde , , , . O determinante .
Então,
Passo 5
Agora, vamos multiplicar por :
Multiplicando:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar por o resultado que encontramos:
ã
Multiplicando:
ã
Calculando cada entrada:
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Então,
Passo 7
Agora que temos a matriz de na base padrão, podemos encontrar o núcleo e a imagem de .
Começando pelo núcleo, queremos resolver , ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Observamos que as duas primeiras equações são iguais, então vamos simplificar.
Passo 8
Simplificando o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na terceira equação:
Então, . Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero.
Passo 9
Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz .
Nossa matriz é:
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Passo 10
Para ver se as colunas são lineares, verificamos se existe um escalar tal que a segunda coluna é igual a vezes a primeira coluna.
Vamos comparar:
Da primeira equação, .
Da terceira equação, .
Como não há um único que satisfaça todas as equações, as colunas são linearmente independentes.
Passo 11
Como as colunas são linearmente independentes, a imagem de é um subespaço de de dimensão 2, gerado pelas duas colunas da matriz .