Considere e bases de e de , respectivamente. Seja uma transformação linear tal que .
Determine uma base e a dimensão para o núcleo e para o conjunto imagem de T.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos duas bases: uma para o espaço [T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 chamada e outra para chamada . A transformação linear está representada por uma matriz , que é uma matriz :
A missão é descobrir uma base e a dimensão tanto para o núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) quanto para a imagem de (o conjunto de todos os vetores que pode alcançar).
Pra resolver isso, vamos precisar entender como essa matriz representa a transformação e usar conceitos de espaço vetorial como bases, núcleo e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . Já a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que são resultado de para algum .
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação . Mas como está representado na base de e na base de , precisamos primeiro entender como passar entre essas bases e a base padrão.
Passo 3
Vamos encontrar a matriz de Palpha = 1 & 0 -1 & 2 na base padrão. Para isso, precisamos das matrizes de mudança de base para Pbeta = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 -1 & 2 & 0 e [T] = Pbeta [T]beta^alpha Palpha^-1 .
A matriz de mudança de base de para a base padrão de é formada colocando os vetores de como colunas:
Da mesma forma, a matriz de mudança de base de para a base padrão de é:
Agora, a matriz de na base padrão é dada por:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar Palpha = 1 & 0 -1 & 2 , a inversa de Palpha^-1 = 1det(Palpha) d & -b -c & a :
Agora que temos a matriz de 0.5 & -0.5 0.5 & -0.5 2 & 1 x y = 0 0 0 na base padrão, podemos encontrar o núcleo e a imagem de 0.5x - 0.5y = 0 0.5x - 0.5y = 0 2x + y = 0 .
Começando pelo núcleo, queremos resolver , ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Observamos que as duas primeiras equações são iguais, então vamos simplificar.
Passo 8
Simplificando o sistema:
Da primeira equação:
0.5x - 0.5y = 0 implies x = y
Da terceira equação:
2x + y = 0
Substituindo 2x + x = 0 implies 3x = 0 implies x = 0 na terceira equação:
Então, . Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero.
Passo 9
Agora, vamos determinar a imagem de [T] = 0.5 & -0.5 0.5 & -0.5 2 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz .
Nossa matriz é:
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.
Passo 10
Para ver se as colunas são lineares, verificamos se existe um escalar -0.5 = k cdot 0.5 -0.5 = k cdot 0.5 1 = k cdot 2 tal que a segunda coluna é igual a vezes a primeira coluna.
Vamos comparar:
Da primeira equação, .
Da terceira equação, .
Como não há um único que satisfaça todas as equações, as colunas são linearmente independentes.
Passo 11
Como as colunas são linearmente independentes, a imagem de 0.5 0.5 2 , -0.5 -0.5 1 é um subespaço de de dimensão 2, gerado pelas duas colunas da matriz .