Considere alpha=(1,-1) ;(0,2) e beta=(1,0,-1) ;(0,1,2) ;(1,2,0) bases de R^2 e de R^3, respectivamente. Seja T uma transformação linear tal que [T]beta^alpha=[cc1 & 0 1 & 1 0 & -1].
Determine uma base e a dimensão para o núcleo e para o conjunto imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos duas bases: uma para o espaço [T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 chamada e outra para chamada . A transformação linear está representada por uma matriz , que é uma matriz :
A missão é descobrir uma base e a dimensão tanto para o núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) quanto para a imagem de (o conjunto de todos os vetores que pode alcançar).
Pra resolver isso, vamos precisar entender como essa matriz representa a transformação e usar conceitos de espaço vetorial como bases, núcleo e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores tais que . Já a imagem de , , é o conjunto de todos os vetores em que são resultado de para algum .
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver a equação . Mas como está representado na base de e na base de , precisamos primeiro entender como passar entre essas bases e a base padrão.

Passo 3

Vamos encontrar a matriz de Palpha = 1 & 0 -1 & 2 na base padrão. Para isso, precisamos das matrizes de mudança de base para Pbeta = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 -1 & 2 & 0 e [T] = Pbeta [T]beta^alpha Palpha^-1 .
A matriz de mudança de base de para a base padrão de é formada colocando os vetores de como colunas:
Da mesma forma, a matriz de mudança de base de para a base padrão de é:
Agora, a matriz de na base padrão é dada por:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar Palpha = 1 & 0 -1 & 2 , a inversa de Palpha^-1 = 1det(Palpha) d & -b -c & a :
Palpha^-1 = 12 2 & 0 1 & 1 = 1 & 0 0.5 & 0.5
A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde , , , . O determinante .
Então,

Passo 5

Agora, vamos multiplicar [T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 , Palpha^-1 = 1 & 0 0.5 & 0.5 por [T]beta^alpha Palpha^-1 = 1 & 0 1 & 1 0 & -1 1 & 0 0.5 & 0.5 = 1 cdot 1 + 0 cdot 0.5 & 1 cdot 0 + 0 cdot 0.5 1 cdot 1 + 1 cdot 0.5 & 1 cdot 0 + 1 cdot 0.5 0 cdot 1 + (-1) cdot 0.5 & 0 cdot 0 + (-1) cdot 0.5 = 1 & 0 1.5 & 0.5 -0.5 & -0.5 :
Multiplicando:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar Pbeta = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 -1 & 2 & 0 , [T]base padrão = 1 & 0 1.5 & 0.5 -0.5 & -0.5 por o resultado que encontramos:
[T] = Pbeta [T]base padrão = 1 cdot 1 + 0 cdot 1.5 + 1 cdot (-0.5) & 1 cdot 0 + 0 cdot 0.5 + 1 cdot (-0.5) 0 cdot 1 + 1 cdot 1.5 + 2 cdot (-0.5) & 0 cdot 0 + 1 cdot 0.5 + 2 cdot (-0.5) -1 cdot 1 + 2 cdot 1.5 + 0 cdot (-0.5) & -1 cdot 0 + 2 cdot 0.5 + 0 cdot (-0.5) ã
Multiplicando:
[T] = 0.5 & -0.5 0.5 & -0.5 2 & 1 ã
Calculando cada entrada:
  • Primeira coluna:
  • Segunda coluna:
Então,

Passo 7

Agora que temos a matriz de 0.5 & -0.5 0.5 & -0.5 2 & 1 x y = 0 0 0 na base padrão, podemos encontrar o núcleo e a imagem de 0.5x - 0.5y = 0 0.5x - 0.5y = 0 2x + y = 0 .
Começando pelo núcleo, queremos resolver , ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Observamos que as duas primeiras equações são iguais, então vamos simplificar.

Passo 8

Simplificando o sistema:
Da primeira equação:
0.5x - 0.5y = 0 implies x = y
Da terceira equação:
2x + y = 0
Substituindo 2x + x = 0 implies 3x = 0 implies x = 0 na terceira equação:
Então, . Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero.

Passo 9

Agora, vamos determinar a imagem de [T] = 0.5 & -0.5 0.5 & -0.5 2 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Isso corresponde ao espaço gerado pelas colunas da matriz .
Nossa matriz é:
Vamos verificar se as colunas são linearmente independentes.

Passo 10

Para ver se as colunas são lineares, verificamos se existe um escalar -0.5 = k cdot 0.5 -0.5 = k cdot 0.5 1 = k cdot 2 tal que a segunda coluna é igual a vezes a primeira coluna.
Vamos comparar:
Da primeira equação, .
Da terceira equação, .
Como não há um único que satisfaça todas as equações, as colunas são linearmente independentes.

Passo 11

Como as colunas são linearmente independentes, a imagem de 0.5 0.5 2 , -0.5 -0.5 1 é um subespaço de de dimensão 2, gerado pelas duas colunas da matriz .
Portanto, uma base para a imagem de é:
E a dimensão da imagem é 2.

Resposta

  • Núcleo de 0.5 0.5 2 :
    • Base: -0.5 -0.5 1
    • Dimensão: 0
  • Imagem de :
    • Base:
    • Dimensão: 2

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