Uma roda gira com uma aceleração angular alpha dada por alpha=4 at^3-3 bt^2, onde te o tempo, é a e b são constantes. Se omegao e a velocidade inicial da roda, deduza as equações para (a) a velocidade angular e (b) o deslocamento angular em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a aceleração angular da roda, que é . Nosso objetivo é descobrir duas coisas: (a) a velocidade angular e (b) o deslocamento angular em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, porque a aceleração é a derivada da velocidade, e a velocidade é a derivada do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega(t) = omega0 + integral alpha(t) , dt . Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos integrar a aceleração.
A fórmula para a velocidade em função do tempo é:
Onde é a velocidade inicial.

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral alpha(t) , dt = integral (4a t^3 - 3b t^2) , dt :
= 4a integral t^3 , dt - 3b integral t^2 , dt
Integrando termo a termo:
= 4a ( t^44 ) - 3b ( t^33 ) + C
= a t^4 - b t^3 + C
Simplificando:
Como estamos integrando para encontrar a velocidade, a constante corresponde à velocidade inicial .

Passo 4

Substituindo a constante omega(t) = omega0 + a t^4 - b t^3 por :
Então, essa é a expressão para a velocidade angular em função do tempo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o deslocamento angular theta(t) = theta0 + integral omega(t) , dt . Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento, então para achar o deslocamento, precisamos integrar a velocidade.
A fórmula para o deslocamento em função do tempo é:
theta(t) = integral omega(t) , dt
Assumindo que o deslocamento inicial é zero, a equação fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral de theta(t) = integral (omega0 + a t^4 - b t^3) , dt :
= omega0 integral 1 , dt + a integral t^4 , dt - b integral t^3 , dt
Integrando termo a termo:
= omega0 t + a ( t^55 ) - b ( t^44 ) + D
Como o deslocamento inicial é zero, a constante é zero.

Resposta

A solução para o exercício é:
(a) A velocidade angular em função do tempo é
omega(t) = omega0 + a t^4 - b t^3
(b) O deslocamento angular em função do tempo é
theta(t) = omega0 t + a t^55 - b t^44

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