Uma roda gira com uma aceleração angular
dada por
, onde te o tempo, é a e b são constantes. Se
e a velocidade inicial da roda, deduza as equações para (a) a velocidade angular e (b) o deslocamento angular em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a aceleração angular da roda, que é
. Nosso objetivo é descobrir duas coisas: (a) a velocidade angular
e (b) o deslocamento angular
em função do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, porque a aceleração é a derivada da velocidade, e a velocidade é a derivada do deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
. Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade em relação ao tempo, então para achar a velocidade, precisamos integrar a aceleração.
A fórmula para a velocidade em função do tempo é:
Onde
é a velocidade inicial.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Como estamos integrando para encontrar a velocidade, a constante
corresponde à velocidade inicial
.
Passo 4
Substituindo a constante
por
:
Então, essa é a expressão para a velocidade angular em função do tempo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o deslocamento angular
. Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento, então para achar o deslocamento, precisamos integrar a velocidade.
A fórmula para o deslocamento em função do tempo é:
Assumindo que o deslocamento inicial
é zero, a equação fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral de
:
Integrando termo a termo:
Como o deslocamento inicial é zero, a constante
é zero.
Resposta
A solução para o exercício é:
(a) A velocidade angular em função do tempo é
(b) O deslocamento angular em função do tempo é