Seja
o conjunto dos polinômios de grau até 3 e
a função definida por
. Mostre que
é uma transformação linear e determine uma base para okernel e uma para a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre polinômios de grau até 3, que a gente representa por
. A função
que a gente tem aqui é
, ou seja, ela pega um polinômio e dá a sua derivada. Nosso objetivo é mostrar que
é uma transformação linear e encontrar uma base para o núcleo (ker) e para a imagem (im) de
. Para isso, vamos lembrar um pouco sobre transformações lineares, núcleos e imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, valem duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar essas propriedades para a nossa função
.
Passo 3
Primeiro, a aditividade. Seja
e
dois polinômios em
. Então:
Isso mostra que a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, a homogeneidade. Seja
um escalar e
um polinômio em
. Então:
Assim, a homogeneidade também está satisfeita.
Passo 5
Como as duas propriedades da linearidade estão validadas, podemos concluir que
é, de fato, uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de
, ou seja, todos os polinômios
em
tal que
.
Se
, então
deve ser uma constante, porque a derivada de uma constante é zero. Portanto, o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios constantes em
.
Passo 7
Para uma base do núcleo, precisamos de um conjunto de polinômios que span o núcleo e que sejam linearmente independentes. Como todo elemento do núcleo é uma constante, podemos escolher
como base do núcleo.
Passo 8
Agora, vamos determinar a imagem de
, que é o conjunto de todas as derivadas de polinômios em
. Se
, então:
Observamos que
é um polinômio de grau até 2, ou seja, está em
, que é um subespaço de
.
Passo 9
Para encontrar uma base da imagem, observamos que as derivadas dos monômios
são:
Os polinômios
são linearmente independentes, então podemos escolher
como base da imagem de
.