Seja o conjunto dos polinômios de grau até 3 e a função definida por . Mostre que é uma transformação linear e determine uma base para okernel e uma para a imagem de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre polinômios de grau até 3, que a gente representa por . A função que a gente tem aqui é , ou seja, ela pega um polinômio e dá a sua derivada. Nosso objetivo é mostrar que é uma transformação linear e encontrar uma base para o núcleo (ker) e para a imagem (im) de . Para isso, vamos lembrar um pouco sobre transformações lineares, núcleos e imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , valem duas propriedades:
Aditividade:
Homogeneidade:
Vamos verificar essas propriedades para a nossa função .
Passo 3
Primeiro, a aditividade. Seja e dois polinômios em . Então:
Isso mostra que a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, a homogeneidade. Seja um escalar e um polinômio em . Então:
Assim, a homogeneidade também está satisfeita.
Passo 5
Como as duas propriedades da linearidade estão validadas, podemos concluir que é, de fato, uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para o núcleo de , ou seja, todos os polinômios em tal que .
Se , então deve ser uma constante, porque a derivada de uma constante é zero. Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios constantes em .
Passo 7
Para uma base do núcleo, precisamos de um conjunto de polinômios que span o núcleo e que sejam linearmente independentes. Como todo elemento do núcleo é uma constante, podemos escolher como base do núcleo.
Passo 8
Agora, vamos determinar a imagem de , que é o conjunto de todas as derivadas de polinômios em . Se , então:
Observamos que é um polinômio de grau até 2, ou seja, está em , que é um subespaço de .
Passo 9
Para encontrar uma base da imagem, observamos que as derivadas dos monômios são:
Os polinômios são linearmente independentes, então podemos escolher como base da imagem de .
Resposta
é uma transformação linear. Uma base para o núcleo de é e uma base para a imagem de é .