Considere
, com
. Mostre que o polinômio
divide o polinômio
Dica: Use o Teste da Raiz.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um polinômio
e queremos mostrar que ele é divisível por
. O conteúdo envolvido aqui são polinômios e divisibilidade, e vamos usar o Teste da Raiz para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, o Teste da Raiz diz que se um polinômio
tem um fator
, então
é uma raiz de
, ou seja,
. No caso, queremos mostrar que
divide
, o que é equivalente a dizer que as raízes de
também são raízes de
.
Passo 3
As raízes de
são
e
, onde
é a unidade imaginária (
). Então, precisamos verificar se
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Observamos que
pela fórmula de Euler. Então:
Substituindo de volta:
Portanto,
.
Passo 5
De maneira similar, calculamos
:
Isso simplifica para:
Substituindo de volta:
Assim,
.
Resposta
Como
e
, pelo Teste da Raiz, o polinômio
divide
.