Considere alpha em R, com alpha ≠ k pi. Mostre que o polinômio 1 + x^2 divide o polinômio
f(x) = (cos(α) + sen(α) x)^(n) - cos(n α) - sen(n α) x
Dica: Use o Teste da Raiz.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um polinômio e queremos mostrar que ele é divisível por . O conteúdo envolvido aqui são polinômios e divisibilidade, e vamos usar o Teste da Raiz para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Raiz diz que se um polinômio tem um fator , então é uma raiz de , ou seja, . No caso, queremos mostrar que divide , o que é equivalente a dizer que as raízes de também são raízes de .

Passo 3

As raízes de são e , onde é a unidade imaginária ( ). Então, precisamos verificar se e .

Passo 4

Vamos calcular :
Observamos que pela fórmula de Euler. Então:
Substituindo de volta:
Portanto, .

Passo 5

De maneira similar, calculamos :
Isso simplifica para:
Substituindo de volta:
Assim, .

Resposta

Como e , pelo Teste da Raiz, o polinômio divide .

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