Mostre que Q[x] não é um corpo.

Passo 1

Beleza, então temos que mostrar que Q[x] não é um corpo. Primeiro, vamos entender o que significa isso. Q[x] é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes racionais. Um corpo é um conjunto onde você pode fazer adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) e sempre obter resultados dentro desse conjunto. Para mostrar que Q[x] não é um corpo, precisamos provar que existe pelo menos um polinômio não nulo em Q[x] que não tem um inverso multiplicativo dentro de Q[x]. Vamos precisar usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre corpos e anéis de polinômios.

Passo 2

Vamos lembrar que em um anel de polinômios como Q[x], os elementos são polinômios de diferentes graus (o grau é o maior expoente de x no polinômio). Para que Q[x] seja um corpo, todo polinômio não-zero deveria ter um inverso multiplicativo também em Q[x].

Passo 3

Vamos considerar o polinômio . Este é um polinômio não-zero em Q[x]. Se Q[x] fosse um corpo, deveria existir um polinômio tal que .

Passo 4

Multiplicando por um polinômio qualquer , teríamos:
Note que o resultado dessa multiplicação é um polinômio onde todos os termos têm grau pelo menos 1.

Passo 5

Para que , precisaríamos que o polinômio resultante seja igual a 1, que é um polinômio constante de grau 0. Mas, como vimos no passo anterior, sempre terá grau pelo menos 1, a menos que , o que não funcionaria porque .

Passo 6

Isso significa que não existe nenhum polinômio tal que . Portanto, o polinômio x não tem um inverso multiplicativo em Q[x].

Resposta

Assim, como existe pelo menos um polinômio não-zero em Q[x] (como x) que não possui um inverso multiplicativo dentro de Q[x], concluímos que Q[x] não é um corpo.

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