Mostre que
não é um corpo.
Passo 1
Beleza, então temos que mostrar que
não é um corpo. Primeiro, vamos entender o que significa isso.
é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes racionais. Um corpo é um conjunto onde você pode fazer adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) e sempre obter resultados dentro desse conjunto. Para mostrar que
não é um corpo, precisamos provar que existe pelo menos um polinômio não nulo em
que não tem um inverso multiplicativo dentro de
. Vamos precisar usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre corpos e anéis de polinômios.
Passo 2
Vamos lembrar que em um anel de polinômios como
, os elementos são polinômios de diferentes graus (o grau é o maior expoente de
no polinômio). Para que
seja um corpo, todo polinômio não-zero deveria ter um inverso multiplicativo também em
.
Passo 3
Vamos considerar o polinômio
. Este é um polinômio não-zero em
. Se
fosse um corpo, deveria existir um polinômio
tal que
.
Passo 4
Multiplicando
por um polinômio qualquer
, teríamos:
Note que o resultado dessa multiplicação é um polinômio onde todos os termos têm grau pelo menos 1.
Passo 5
Para que
, precisaríamos que o polinômio resultante seja igual a 1, que é um polinômio constante de grau 0. Mas, como vimos no passo anterior,
sempre terá grau pelo menos 1, a menos que
, o que não funcionaria porque
.
Passo 6
Isso significa que não existe nenhum polinômio
tal que
. Portanto, o polinômio
não tem um inverso multiplicativo em
.
Resposta
Assim, como existe pelo menos um polinômio não-zero em
(como
) que não possui um inverso multiplicativo dentro de
, concluímos que
não é um corpo.