lim x 0 ln (1+x)-sin (x)x^3

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado: queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse problema envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente limites e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital e derivadas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de limite que estamos enfrentando. Substituindo ln(1+0) - sin(0)0^3 = 0 - 00 = 00 na expressão, temos:
Esse é um caso indeterminado do tipo , o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital. A regra de L’Hôpital diz que se o limite de resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 3

Aplicando a primeira derivada:
f(x) = ln(1+x) - sin(x) Rightarrow f'(x) = 11+x - cos(x)
g(x) = x^3 Rightarrow g'(x) = 3x^2
Agora, o limite fica:
limx to 0 11+x - cos(x)3x^2
Substituindo 1 - 10 = 00 :
Ainda temos um indeterminado , então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicando a segunda derivada:
f'(x) = 11+x - cos(x) Rightarrow f''(x) = -1(1+x)^2 + sin(x)
g'(x) = 3x^2 Rightarrow g''(x) = 6x
O limite agora é:
limx to 0 -1(1+x)^2 + sin(x)6x
Substituindo -1 + 00 = -10 :
Isso nos indica que o limite tende para , pois estamos dividindo um número negativo por um número que se aproxima de zero a partir de valores positivos.

Resposta

lim x 0 ln (1+x)-sin (x)x^3 = -infty

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