Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado: queremos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Esse problema envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente limites e funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital e derivadas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de limite que estamos enfrentando. Substituindo
na expressão, temos:
Esse é um caso indeterminado do tipo
, o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital. A regra de L’Hôpital diz que se o limite de
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 3
Aplicando a primeira derivada:
Agora, o limite fica:
Substituindo
:
Ainda temos um indeterminado
, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Passo 4
Aplicando a segunda derivada:
O limite agora é:
Substituindo
:
Isso nos indica que o limite tende para
, pois estamos dividindo um número negativo por um número que se aproxima de zero a partir de valores positivos.