Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, especificamente lidando com limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para resolver limites que inicialmente dão uma forma indeterminada como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de 0. Calculando diretamente:
- No numerador:
- No denominador:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se
ou
, então o limite pode ser encontrado derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: - A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é - Então,
- A derivada de
-
Derivada do denominador
: - A derivada de
é - Então,
- A derivada de
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:
Passo 4
Vamos verificar novamente o limite após a primeira aplicação da Regra de L’Hospital:
- No numerador:
- No denominador:
Ainda temos uma forma indeterminada
, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Derivando novamente:
-
Derivada do novo numerador
: - A derivada de
é - A derivada de
é - Então,
- A derivada de
-
Derivada do novo denominador
: - A derivada de
é - Então,
- A derivada de
Agora, o limite fica:
Resposta
Substituindo
, temos:
Portanto, o limite é 2.