lim x 0 e^2 x-1-2 xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 e^2 x-1-2 xx^2. Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, especificamente lidando com limites que envolvem funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para resolver limites que inicialmente dão uma forma indeterminada como 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função conforme x se aproxima de 0. Calculando diretamente:
  • No numerador: e^2 cdot 0 - 1 - 2 cdot 0 = 1 - 1 - 0 = 0
  • No denominador: 0^2 = 0
Isso nos dá uma forma indeterminada 00, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que diz que se limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então o limite pode ser encontrado derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador f(x) = e^2x - 1 - 2x:
    • A derivada de e^2x é 2e^2x
    • A derivada de -1 é 0
    • A derivada de -2x é -2
    • Então, f'(x) = 2e^2x - 2
  • Derivada do denominador g(x) = x^2:
    • A derivada de x^2 é 2x
    • Então, g'(x) = 2x
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:
lim x 0 2e^2x - 22x

Passo 4

Vamos verificar novamente o limite após a primeira aplicação da Regra de L’Hospital:
  • No numerador: 2e^2 cdot 0 - 2 = 2 cdot 1 - 2 = 0
  • No denominador: 2 cdot 0 = 0
Ainda temos uma forma indeterminada 00, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Derivando novamente:
  • Derivada do novo numerador f'(x) = 2e^2x - 2:
    • A derivada de 2e^2x é 4e^2x
    • A derivada de -2 é 0
    • Então, f''(x) = 4e^2x
  • Derivada do novo denominador g'(x) = 2x:
    • A derivada de 2x é 2
    • Então, g''(x) = 2
Agora, o limite fica:
lim x 0 4e^2x2

Resposta

Substituindo x = 0, temos:
4e^02 = 4 cdot 12 = 2
Portanto, o limite é 2.

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