Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo:
a(t) = cos(t/4), v(0) = 1/2 e x(0) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com uma função posição . As informações fornecidas são:
  • Aceleração:
  • Condição inicial da velocidade:
  • Condição inicial da posição:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para encontrar as funções velocidade e posição .

Passo 2

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Para encontrar a função velocidade , precisamos integrar a aceleração:
A integral de é , então:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, a função velocidade é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a função posição . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição, ou seja, . Para encontrar , integramos a função velocidade:
Integrando termo a termo:
Então, a função posição é:
Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A função posição da partícula é:

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