Considere o anel
. Mostre que o inverso aditivo é único, isto é, para todo
, exite um único elemento
em
tal que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, em um anel
, o inverso aditivo de qualquer elemento é único. Isso significa que, para cada
, existe apenas um elemento
tal que
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de anéis, principalmente a definição de inverso aditivo e as propriedades da adição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto
equipado com duas operações, a adição
e a multiplicação
, que satisfazem certas propriedades. Entre essas, a adição deve formar um grupo abeliano, o que significa que para cada elemento
, existe um inverso aditivo
tal que
, onde
é o elemento neutro da adição.
Passo 3
Agora, queremos provar que esse inverso aditivo é único. Ou seja, se existirem dois elementos
e
em
que satisfazem
e
, então
deve ser igual a
. Vamos demonstrar isso passo a passo.
Passo 4
Pensemos que temos dois inversos aditivos,
e
, para o mesmo elemento
. Então, temos:
Queremos mostrar que
.
Passo 5
Vamos usar uma propriedade importante da adição em grupos abelianos: a inversão é única. Mas, para não assumir isso, vamos fazer a manipulação diretamente. Sabemos que:
Passo 6
Subtraindo a equação (2) da equação (1), temos:
Simplificando o lado direito, fica:
Passo 7
Na adição de um anel, temos que:
Usando a propriedade associativa da adição, podemos rearranjar os termos:
Então, temos:
Passo 8
Se
, isso implica que
. Portanto, mostramos que os dois inversos aditivos
e
devem ser iguais. Ou seja, o inverso aditivo de um elemento em um anel é único.
Resposta
Concluímos que, em um anel
, para cada
, existe um único elemento
tal que
. Portanto, o inverso aditivo é único.
Exercícios relacionados
Identifique o conjunto A para o qual irá aplicar o princípio de induçăo e a propriedade
associada ao conjunto
;
Determine o domínio máximo, em
, da função
.
Se
, encontre
.
Seja
. Se
e
é solução de
, então
?
A. F
B. V
A. F
B. V