Considere o anel A + ·. Mostre que o inverso aditivo é único, isto é, para todo a in A, exite um único elemento b em A tal que a + b = b + a = 0 para todo a in A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, em um anel , o inverso aditivo de qualquer elemento é único. Isso significa que, para cada a in A, existe apenas um elemento tal que . Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de anéis, principalmente a definição de inverso aditivo e as propriedades da adição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto A equipado com duas operações, a adição e a multiplicação , que satisfazem certas propriedades. Entre essas, a adição deve formar um grupo abeliano, o que significa que para cada elemento a in A, existe um inverso aditivo -a tal que , onde 0 é o elemento neutro da adição.

Passo 3

Agora, queremos provar que esse inverso aditivo é único. Ou seja, se existirem dois elementos b e c em A que satisfazem e , então b deve ser igual a c. Vamos demonstrar isso passo a passo.

Passo 4

Pensemos que temos dois inversos aditivos, b e c, para o mesmo elemento a. Então, temos:
Queremos mostrar que .

Passo 5

Vamos usar uma propriedade importante da adição em grupos abelianos: a inversão é única. Mas, para não assumir isso, vamos fazer a manipulação diretamente. Sabemos que:

Passo 6

Subtraindo a equação (2) da equação (1), temos:
Simplificando o lado direito, fica:

Passo 7

Na adição de um anel, temos que:
Usando a propriedade associativa da adição, podemos rearranjar os termos:
Então, temos:

Passo 8

Se , isso implica que . Portanto, mostramos que os dois inversos aditivos b e c devem ser iguais. Ou seja, o inverso aditivo de um elemento em um anel é único.

Resposta

Concluímos que, em um anel , para cada a in A, existe um único elemento tal que . Portanto, o inverso aditivo é único.

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