Se f(x) = ln(x) / x^2, encontre f'(1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas. Para isso, vamos precisar usar a regra do quociente e saber derivar funções como e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como muda quando muda, especialmente em .

Passo 3

Como é um quociente de duas funções, vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos derivar e :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Finalmente, substituímos na derivada para encontrar :

Resposta

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