Determine o domínio máximo, em
, da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer descobrir para quais valores de
a função
tá valendo. Aqui a gente vai trabalhar com domínio de funções e função logaritmo natural. Pra resolver, a gente precisa saber quando o argumento do logaritmo é positivo, já que o logaritmo só funciona com números maiores que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, representado por
, só aceita números positivos. Então, o que tá dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Isso significa que a fração toda tem que ser positiva.
Passo 3
Agora, vamos analisar quando a fração
é positiva. Uma fração é positiva quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal. No nosso caso, o numerador é 1, que sempre é positivo. Então, o denominador também tem que ser positivo:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade
. Isso é equivalente a:
Agora, para encontrar os valores de
que satisfazem essa desigualdade, vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados:
Isso significa que
pode ser maior que
ou menor que
.
Passo 5
Então, juntando tudo, os valores de
que fazem a função
existir são todos os números reais menores que
ou maiores que
. Em termos de intervalo, fica assim:
Resposta
O domínio máximo da função
em
é: