Considere um anel delgado homogêneo de raio 1 m e massa 2 kg, disposto na vertical. O anel pode rodar sem atrito em torno de seu eixo de simetria (perpendicular ao plano do anel). Uma força de magnitude 10 N é aplicada no topo do anel, mantendo-se no plano do anel e fazendo um ângulo de 45^circ com a vertical. Qual a magnitude da aceleração angular do anel?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um anel fino e homogêneo com raio de 1 metro e massa de 2 kg, que pode girar sem atrito ao redor do seu eixo de simetria. Uma força de 10 N está sendo aplicada no topo do anel, fazendo um ângulo de com a vertical. Queremos descobrir qual é a magnitude da aceleração angular desse anel. Para resolver isso, vamos precisar entender de torque e dinâmica de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o torque que a força está gerando no anel. Torque ( tau = r cdot F cdot sin(theta) ) é basicamente a força que causa a rotação e depende de três coisas: a magnitude da força, a distância do ponto onde a força é aplicada até o eixo de rotação (que aqui é o raio do anel), e o ângulo entre a força e a linha que vai desse ponto até o eixo.
A fórmula do torque é:
tau = 1 cdot 10 cdot sin(45^circ)
Onde:
  • tau = 10 cdot raiz22 = 5raiz2 , Ncdotm (raio do anel)
  • (força aplicada)
  • (ângulo da força com a vertical)
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Sabendo que , fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o momento de inércia ( I = m cdot r^2 ) do anel. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência a rotação o objeto tem e depende da massa e de como essa massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Para um anel fino que gira ao redor do seu eixo de simetria, a fórmula do momento de inércia é:
I = 2 cdot 1^2 = 2 , kgcdotm^2
Onde:
  • (massa do anel)
  • (raio do anel)
Substituindo os valores:

Passo 4

Por fim, vamos usar a segunda lei da dinâmica rotacional, que nos diz que a aceleração angular ( alpha = tauI ) é igual ao torque dividido pelo momento de inércia:
alpha = 5raiz22 approx 3.54 , rad/s^2
Já calculamos e , então:

Resposta

A aceleração angular do anel é aproximadamente .

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