Considere um anel delgado homogêneo de raio 1 m e massa 2 kg, disposto na vertical. O anel pode rodar sem atrito em torno de seu eixo de simetria (perpendicular ao plano do anel). Uma força de magnitude 10 N é aplicada no topo do anel, mantendo-se no plano do anel e fazendo um ângulo de
com a vertical. Qual a magnitude da aceleração angular do anel?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um anel fino e homogêneo com raio de 1 metro e massa de 2 kg, que pode girar sem atrito ao redor do seu eixo de simetria. Uma força de 10 N está sendo aplicada no topo do anel, fazendo um ângulo de
com a vertical. Queremos descobrir qual é a magnitude da aceleração angular desse anel. Para resolver isso, vamos precisar entender de torque e dinâmica de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o torque que a força está gerando no anel. Torque (
) é basicamente a força que causa a rotação e depende de três coisas: a magnitude da força, a distância do ponto onde a força é aplicada até o eixo de rotação (que aqui é o raio do anel), e o ângulo entre a força e a linha que vai desse ponto até o eixo.
A fórmula do torque é:
Onde:
-
(raio do anel) -
(força aplicada) -
(ângulo da força com a vertical)
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Sabendo que
, fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o momento de inércia (
) do anel. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência a rotação o objeto tem e depende da massa e de como essa massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Para um anel fino que gira ao redor do seu eixo de simetria, a fórmula do momento de inércia é:
Onde:
-
(massa do anel) -
(raio do anel)
Substituindo os valores:
Passo 4
Por fim, vamos usar a segunda lei da dinâmica rotacional, que nos diz que a aceleração angular (
) é igual ao torque dividido pelo momento de inércia:
Já calculamos
e
, então:
Resposta
A aceleração angular do anel é aproximadamente
.
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. Calcule, separadamente, o torque sobre a partícula e mostre que ele é igual a taxa de variação do momento angular, em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto de coordenadas ;
a) Origem;
b) Ponto de coordenadas
Uma partícula de massa
descreve uma trajetória circular de raio
, sobre o plano
e centrada na origem, com velocidade angular de magnitude
. Calcule o momento angular em relação aos seguintes pontos:
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo , com coordenada
neste eixo. Neste caso, dê a resposta em função
, o ângulo gerado pelo eixo
e o raio de giração partícula.
a) Origem;
b) Ponto sobre o eixo
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