Considere um anel fino de raio R, positivamente carregado e feito de material isolante, cuja densidade linear de carga lambda é uniforme ao longo de sua circunferência. (a) Existe alguma razão de prática para o anel ser isolante? (b) Qual é o campo elétrico num ponto P, situado a uma distância z do plano do anel, ao longo do seu eixo central? © se uma carga pontual q>0 for colocada em um ponto z sobre o eixo do anel, para que valor de z a aceleração da carga será máxima e para qual valor ela estará em equilíbrio? Existe algum ponto de z onde o valor do campo é mínimo? (d) se a massa da carga puntual for 1 g , carga total do anel for 10 nC e o seu raio for 10 cm , qual o valor da aceleração máxima? (e) Para pontos suficientemente distantes do anel, z>>R, qual a expressão do campo elétrico? Essa expressão está coerente como os resultados esperados? Por quê?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre um anel bem fininho, com raio , carregado positivamente e feito de material isolante. A carga está distribuída de forma uniforme ao redor da circunferência do anel, com densidade linear de carga . A gente vai resolver várias perguntas sobre esse anel, usando conceitos de eletrostática, como campo elétrico e forças entre cargas. Vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por esse anel em diferentes pontos e analisar o comportamento de uma carga colocada em certas posições.

Passo 2

Parte (a): Existe alguma razão de prática para o anel ser isolante?
Então, por que o anel ser isolante faz sentido na prática? Bom, se o anel fosse feito de um material condutor, as cargas elétricas não permaneceriam fixas; elas se moveriam livremente para se distribuir de maneira que minimizassem a energia, geralmente acumulando nas bordas. Mas, como o enunciado diz que o anel é isolante, as cargas ficam fixas na posição onde foram colocadas. Isso é importante pra gente poder ter uma densidade de carga uniforme ao redor da circunferência. Assim, conseguimos analisar o campo elétrico de forma mais simples e controlada.

Passo 3

Parte (b): Qual é o campo elétrico num ponto Ez = 14pivarepsilon0 cdot 2pi R lambda z(z^2 + R^2)^3/2 , situado a uma distância do plano do anel, ao longo do seu eixo central?
Vamos calcular o campo elétrico nesse ponto ao longo do eixo central do anel. Por causa da simetria, todo o campo elétrico gerado pelos diferentes pedaços de carga no anel vai ter componentes que se cancelam nas direções radiais, restando apenas a componente na direção do eixo .
A fórmula do campo elétrico no eixo de um anel carregado é dada por:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o raio do anel, é a densidade linear de carga, e é a distância do ponto ao plano do anel.

Passo 4

Parte ©: Se uma carga pontual a = Fm = qEzm for colocada em um ponto sobre o eixo do anel, para que valor de a aceleração da carga será máxima e para qual valor ela estará em equilíbrio? Existe algum ponto de onde o valor do campo é mínimo?
Primeiro, a aceleração da carga é dada pela força elétrica dividida pela massa :
Para encontrar onde a aceleração é máxima, precisamos maximizar em relação a . Derivando em relação a e igualando a zero, encontramos o valor de que maximiza .
Já para o equilíbrio, a carga estará em equilíbrio quando a força elétrica for zero. Observando a expressão de , vemos que isso acontece quando tende ao infinito, ou seja, não há pontos finitos onde o campo elétrico seja zero nesse caso.
Quanto ao ponto onde o campo é mínimo, analisando a expressão de , percebemos que ele alcança seu valor mínimo em , ou seja, no próprio plano do anel.

Passo 5

Parte (d): Se a massa da carga pontual for 1 g, a carga total do anel for 10 nC e o seu raio for 10 cm, qual o valor da aceleração máxima?
Primeiro, vamos encontrar a densidade linear de carga lambda = Q2pi R = 10 times 10^-9 , C2pi times 0,1 , m = 10 times 10^-90,2pi approx 1,59 times 10^-8 , C/m :
Ez = 14pivarepsilon0 cdot 2pi R lambda z(z^2 + R^2)^3/2
Agora, usando a expressão do campo elétrico no eixo:
Emáx = 14pivarepsilon0 cdot 2pi R lambda R(2R^2)^3/2 = 14pivarepsilon0 cdot 2pi R^2 lambda(2^3/2 R^3) = lambda4pivarepsilon0 R raiz2
A aceleração máxima ocorre quando Emáx = 1,59 times 10^-84pi times 8,85 times 10^-12 times 0,1 times 1,414 approx 8,04 times 10^4 , N/C é máximo, que acontece em amáx = q Emáxm = q times 8,04 times 10^40,001 , kg :
Substituindo os valores:
á
Então, a aceleração máxima é:
áá
Assumindo que seja dado, substituímos para encontrar á.

Passo 6

Parte (e): Para pontos suficientemente distantes do anel, Ez approx 14pivarepsilon0 cdot 2pi R lambda zz^3 = 14pivarepsilon0 cdot 2pi R lambdaz^2 = Q4pivarepsilon0 z^2 , qual a expressão do campo elétrico? Essa expressão está coerente com os resultados esperados? Por quê?
Quando , podemos aproximar . Assim, a expressão do campo elétrico fica:
Isso é exatamente o campo elétrico de uma carga pontual a uma distância . Ou seja, para pontos muito distantes, o anel carregado se comporta como uma carga pontual, o que faz sentido porque, a grandes distâncias, os detalhes da distribuição de carga se tornam irrelevantes e o campo depende apenas da carga total.

Resposta

Finalizando, respondemos todas as partes do exercício:
(a) O anel ser isolante permite que a carga fique distribuída de forma uniforme e fixa, essencial para análises controladas do campo elétrico.
(b) O campo elétrico no ponto é dado por .
© A aceleração da carga máxima ocorre quando , não há equilíbrio estático em pontos finitos, e o campo elétrico é mínimo no plano do anel ( ).
(d) Com os valores dados, a aceleração máxima é aproximadamente multiplicado pela carga e dividida pela massa .
(e) Para , o campo elétrico é , o que está coerente, pois em grandes distâncias o anel se comporta como uma carga pontual.

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