Considere um anel fino de raio
, positivamente carregado e feito de material isolante, cuja densidade linear de carga
é uniforme ao longo de sua circunferência. (a) Existe alguma razão de prática para o anel ser isolante? (b) Qual é o campo elétrico num ponto
, situado a uma distância
do plano do anel, ao longo do seu eixo central? © se uma carga pontual
for colocada em um ponto z sobre o eixo do anel, para que valor de z a aceleração da carga será máxima e para qual valor ela estará em equilíbrio? Existe algum ponto de z onde o valor do campo é mínimo? (d) se a massa da carga puntual for 1 g , carga total do anel for 10 nC e o seu raio for 10 cm , qual o valor da aceleração máxima? (e) Para pontos suficientemente distantes do anel,
, qual a expressão do campo elétrico? Essa expressão está coerente como os resultados esperados? Por quê?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre um anel bem fininho, com raio
, carregado positivamente e feito de material isolante. A carga está distribuída de forma uniforme ao redor da circunferência do anel, com densidade linear de carga
. A gente vai resolver várias perguntas sobre esse anel, usando conceitos de eletrostática, como campo elétrico e forças entre cargas. Vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por esse anel em diferentes pontos e analisar o comportamento de uma carga colocada em certas posições.
Passo 2
Parte (a): Existe alguma razão de prática para o anel ser isolante?
Então, por que o anel ser isolante faz sentido na prática? Bom, se o anel fosse feito de um material condutor, as cargas elétricas não permaneceriam fixas; elas se moveriam livremente para se distribuir de maneira que minimizassem a energia, geralmente acumulando nas bordas. Mas, como o enunciado diz que o anel é isolante, as cargas ficam fixas na posição onde foram colocadas. Isso é importante pra gente poder ter uma densidade de carga uniforme
ao redor da circunferência. Assim, conseguimos analisar o campo elétrico de forma mais simples e controlada.
Passo 3
Parte (b): Qual é o campo elétrico num ponto
, situado a uma distância
do plano do anel, ao longo do seu eixo central?
Vamos calcular o campo elétrico nesse ponto
ao longo do eixo central do anel. Por causa da simetria, todo o campo elétrico gerado pelos diferentes pedaços de carga no anel vai ter componentes que se cancelam nas direções radiais, restando apenas a componente na direção do eixo
.
A fórmula do campo elétrico no eixo de um anel carregado é dada por:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é o raio do anel,
é a densidade linear de carga, e
é a distância do ponto
ao plano do anel.
Passo 4
Parte ©: Se uma carga pontual
for colocada em um ponto
sobre o eixo do anel, para que valor de
a aceleração da carga será máxima e para qual valor ela estará em equilíbrio? Existe algum ponto de
onde o valor do campo é mínimo?
Primeiro, a aceleração da carga
é dada pela força elétrica dividida pela massa
:
Para encontrar onde a aceleração é máxima, precisamos maximizar
em relação a
. Derivando
em relação a
e igualando a zero, encontramos o valor de
que maximiza
.
Já para o equilíbrio, a carga estará em equilíbrio quando a força elétrica for zero. Observando a expressão de
, vemos que isso acontece quando
tende ao infinito, ou seja, não há pontos finitos onde o campo elétrico seja zero nesse caso.
Quanto ao ponto onde o campo é mínimo, analisando a expressão de
, percebemos que ele alcança seu valor mínimo em
, ou seja, no próprio plano do anel.
Passo 5
Parte (d): Se a massa da carga pontual for 1 g, a carga total do anel for 10 nC e o seu raio for 10 cm, qual o valor da aceleração máxima?
Primeiro, vamos encontrar a densidade linear de carga
:
Agora, usando a expressão do campo elétrico no eixo:
A aceleração máxima ocorre quando
é máximo, que acontece em
:
Substituindo os valores:
Então, a aceleração máxima é:
Assumindo que
seja dado, substituímos para encontrar
.
Passo 6
Parte (e): Para pontos suficientemente distantes do anel,
, qual a expressão do campo elétrico? Essa expressão está coerente com os resultados esperados? Por quê?
Quando
, podemos aproximar
. Assim, a expressão do campo elétrico
fica:
Isso é exatamente o campo elétrico de uma carga pontual
a uma distância
. Ou seja, para pontos muito distantes, o anel carregado se comporta como uma carga pontual, o que faz sentido porque, a grandes distâncias, os detalhes da distribuição de carga se tornam irrelevantes e o campo depende apenas da carga total.
Resposta
Finalizando, respondemos todas as partes do exercício:
(a) O anel ser isolante permite que a carga fique distribuída de forma uniforme e fixa, essencial para análises controladas do campo elétrico.
(b) O campo elétrico no ponto
é dado por .
© A aceleração da carga máxima ocorre quando
, não há equilíbrio estático em pontos finitos, e o campo elétrico é mínimo no plano do anel (
).
(d) Com os valores dados, a aceleração máxima é aproximadamente
multiplicado pela carga
e dividida pela massa
.
(e) Para
, o campo elétrico é
, o que está coerente, pois em grandes distâncias o anel se comporta como uma carga pontual.