A equação horária de uma partícula é dada por x(t)=a t^4+b t^2+c, onde a=0,30 m / s^4, b=-1,0 m / s^2 e c = -300 m. Determine as funções v(t) e a(t).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação horária de uma partícula:
x(t) = a t^4 + b t^2 + c
com os valores de , e . Precisamos determinar as funções da velocidade e da aceleração . Para isso, vamos usar calculo derivativo, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Vamos começar encontrando a função da velocidade v(t) = dx(t)dt . A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos v(t) = 4a t^3 + 2b t :
Derivando cada termo de :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de (uma constante) é 0.
Portanto,

Passo 3

Agora, substituímos os valores de v(t) = 4 times 0,30 , t^3 + 2 times (-1,0) , t e v(t) = 1,20 , t^3 - 2,0 , t na expressão de :
Fazendo as multiplicações:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a função da aceleração a(t) = dv(t)dt . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
a(t) = 3,60 , t^2 - 2,0
Derivando :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Portanto,

Resposta

As funções da velocidade e da aceleração são:
v(t) = 1,20 , t^3 - 2,0 , t
e
a(t) = 3,60 , t^2 - 2,0

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