Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
a) , onde é o conjunto das matrizes quadradas de números reais, as operações de adição e multiplicação usuais de matrizes respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto das matrizes quadradas com números reais, denotado por , junto com as operações de adição e multiplicação usuais de matrizes, forma um anel. Além disso, vamos ver se esse anel tem uma unidade, se possui divisores de zero, se é um corpo e se é um anel de integridade. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um anel e as características adicionais que estamos buscando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades:
  1. Adição:
    • Comutativa:
    • Associativa:
    • Existe um elemento neutro (zero) tal que
  2. Multiplicação:
    • Associativa:
    • Distributiva em relação à adição: e
Vamos checar se com essas operações satisfaz todas essas propriedades.

Passo 3

Primeiro, a adição de matrizes é comutativa e associativa, e o zero é a matriz nula onde todos os elementos são zero. Então, a parte da adição do anel está ok.

Passo 4

Agora, a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa que para quaisquer matrizes em .

Passo 5

Também precisamos verificar a distributividade. A multiplicação de matrizes distribui sobre a adição, ou seja, e . Isso também está satisfeito no conjunto das matrizes quadradas.

Passo 6

Com isso, podemos dizer que com adição e multiplicação usuais de matrizes forma um anel.

Passo 7

Agora, vamos ver se esse anel tem uma unidade. No contexto de anéis, a unidade é o elemento que atua como identidade na multiplicação. No caso das matrizes, a matriz identidade onde os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0 funciona como a identidade multiplicativa, pois para qualquer matriz .

Passo 8

Então, sim, é um anel com unidade.

Passo 9

Vamos agora investigar se há divisores de zero nesse anel. Um divisor de zero são elementos e no anel tal que , mas nenhum dos dois é a matriz zero.

Passo 10

Pensemos, por exemplo, nas matrizes:
Multiplicando , temos:
Então, , mas nem nem são a matriz zero. Portanto, tem divisores de zero.

Passo 11

Vamos verificar se esse anel é um corpo. Um corpo é um anel com unidade onde todo elemento diferente de zero tem inverso multiplicativo. Porém, no nosso caso, sabemos que há divisores de zero, o que impede que todo elemento não nulo tenha inverso. Portanto, não é um corpo.

Passo 12

Por último, vamos ver se é um anel de integridade. Um anel de integridade é um anel comutativo sem divisores de zero e com unidade. Já vimos que tem divisores de zero e que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Então, ele não é um anel de integridade.

Resposta

Sim, com adição e multiplicação usuais é um anel com unidade. Ele possui divisores de zero, não é um corpo e não é um anel de integridade.

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(D) Todas são verdadeiras.
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(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
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(I) Não sei
Prove que se, e somente se e são LD.