Verifique se os seguintes conjuntos comas operações indicadas são anéis. Dos anéis, decida se é anel com unidade e se tem divisores de zero. Algum deles é corpo? Algum deles é anel de integridade?
a) , onde é o conjunto das matrizes quadradas de números reais, as operações de adição e multiplicação usuais de matrizes respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o conjunto das matrizes quadradas com números reais, denotado por , junto com as operações de adição e multiplicação usuais de matrizes, forma um anel. Além disso, vamos ver se esse anel tem uma unidade, se possui divisores de zero, se é um corpo e se é um anel de integridade. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um anel e as características adicionais que estamos buscando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades:
Adição:
Comutativa:
Associativa:
Existe um elemento neutro (zero) tal que
Multiplicação:
Associativa:
Distributiva em relação à adição: e
Vamos checar se com essas operações satisfaz todas essas propriedades.
Passo 3
Primeiro, a adição de matrizes é comutativa e associativa, e o zero é a matriz nula onde todos os elementos são zero. Então, a parte da adição do anel está ok.
Passo 4
Agora, a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa que para quaisquer matrizes em .
Passo 5
Também precisamos verificar a distributividade. A multiplicação de matrizes distribui sobre a adição, ou seja, e . Isso também está satisfeito no conjunto das matrizes quadradas.
Passo 6
Com isso, podemos dizer que com adição e multiplicação usuais de matrizes forma um anel.
Passo 7
Agora, vamos ver se esse anel tem uma unidade. No contexto de anéis, a unidade é o elemento que atua como identidade na multiplicação. No caso das matrizes, a matriz identidade onde os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0 funciona como a identidade multiplicativa, pois para qualquer matriz .
Passo 8
Então, sim, é um anel com unidade.
Passo 9
Vamos agora investigar se há divisores de zero nesse anel. Um divisor de zero são elementos e no anel tal que , mas nenhum dos dois é a matriz zero.
Passo 10
Pensemos, por exemplo, nas matrizes:
Multiplicando , temos:
Então, , mas nem nem são a matriz zero. Portanto, tem divisores de zero.
Passo 11
Vamos verificar se esse anel é um corpo. Um corpo é um anel com unidade onde todo elemento diferente de zero tem inverso multiplicativo. Porém, no nosso caso, sabemos que há divisores de zero, o que impede que todo elemento não nulo tenha inverso. Portanto, não é um corpo.
Passo 12
Por último, vamos ver se é um anel de integridade. Um anel de integridade é um anel comutativo sem divisores de zero e com unidade. Já vimos que tem divisores de zero e que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Então, ele não é um anel de integridade.
Resposta
Sim, com adição e multiplicação usuais é um anel com unidade. Ele possui divisores de zero, não é um corpo e não é um anel de integridade.