Seja T: R^2 R^3 a transformação linear que satisfaz: T(2,1)=(-1,3,2) e T(3,2)=(2,3,-1).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A[lx y].
A entrada a21 da matriz A vale:
(A) 1
(B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que transforma pares de números reais em trios. O que a gente precisa fazer é descobrir a matriz que representa essa transformação. Especificamente, queremos encontrar o valor da entrada da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como A = a11 & a12 a21 & a22 a31 & a32 leva vetores de para , a matriz terá 3 linhas e 2 colunas. Ou seja:

Passo 3

Sabemos que e . Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações e resolver para os elementos da matriz .

Passo 4

Aplicando a transformação linear, temos:
A 2 1 = -1 3 2
Isso nos dá as equações:
2a11 + a12 = -1 2a21 + a22 = 3 2a31 + a32 = 2
Da mesma forma, para A 3 2 = 2 3 -1 :
3a11 + 2a12 = 2 3a21 + 2a22 = 3 3a31 + 2a32 = -1
E isso nos dá:

Passo 5

Agora, vamos focar nas equações que envolvem 2a21 + a22 = 3 (1) 3a21 + 2a22 = 3 (2) e , já que queremos encontrar :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar:
4a21 + 2a22 = 6 (1')
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (1’):
(4a21 + 2a22) - (3a21 + 2a22) = 6 - 3 a21 = 3

Resposta

A entrada da matriz vale 3.

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