Considere (A,+,.$) um anel. Prove que, com as operações de soma e produto usuais: ) um anel Prove que, com as operações de soma e produto usuais: é um anel;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra abstrata, mais especificamente sobre aneles. O enunciado nos pede para provar que o conjunto de todas as matrizes com entradas no anel , denotado por , forma ele próprio um anel quando usamos as operações de soma e multiplicação de matrizes que a gente já conhece. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel e como as operações funcionam nas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição (+) e multiplicação (·) que satisfazem algumas propriedades:
  1. Fechamento na adição: Se e estão no anel, então também está no anel.
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Elemento neutro da adição: Existe um elemento tal que para todo .
  5. Inversos aditivos: Para todo , existe tal que .
  6. Fechamento na multiplicação: Se e estão no anel, então também está no anel.
  7. Associatividade da multiplicação: .
  8. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja, e .
Nosso objetivo é mostrar que também satisfaz todas essas propriedades usando as operações de soma e multiplicação de matrizes.

Passo 3

Vamos começar verificando a fechamento na adição. Se pegarmos duas matrizes e em , sua soma é outra matriz onde cada entrada é a soma das entradas correspondentes de e . Como é um anel, a soma de quaisquer elementos de também está em , então está em .

Passo 4

Agora, a comutatividade da adição. Para qualquer duas matrizes e em , porque a adição em é comutativa. Ou seja, cada entrada , mantendo a comutatividade na soma das matrizes.

Passo 5

Vamos verificar a associatividade da adição. Para três matrizes (X + Y) + Z = X + (Y + Z) , (xij + yij) + zij = xij + (yij + zij) e em , temos:
Isso ocorre porque a adição em é associativa, então cada entrada soma associativamente:

Passo 6

Sobre o elemento neutro da adição, existe uma matriz zero X + 0 = X em onde todas as entradas são de . Para qualquer matriz em :
Porque para todas as entradas.

Passo 7

Agora, os inversos aditivos. Para qualquer matriz X + (-X) = 0 em , existe uma matriz onde cada entrada é de . Assim:
Pois para todas as entradas.

Passo 8

Vamos para a fechamento na multiplicação. Se e estão em , sua multiplicação é uma matriz cujo elemento é a soma dos produtos para de 1 a . Como é um anel e fechado na multiplicação, cada produto está em , e a soma deles também está em . Portanto, está em .

Passo 9

A associatividade da multiplicação segue do fato de que a multiplicação de matrizes é associativa. Ou seja, para três matrizes (X cdot Y) cdot Z = X cdot (Y cdot Z) , e em :
Isso se deve à associatividade da multiplicação em .

Passo 10

Finalmente, a distributividade da multiplicação sobre a adição. Para matrizes X cdot (Y + Z) = X cdot Y + X cdot Z , (Y + Z) cdot X = Y cdot X + Z cdot X e em :
Isso ocorre porque a multiplicação em distribui sobre a adição, então cada entrada da matriz multiplicada distribui corretamente.

Resposta

Com todas as propriedades verificadas, mostramos que com as operações de soma e multiplicação usuais é, de fato, um anel.

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