Considere
.$) um anel. Prove que, com as operações de soma e produto usuais:
é um anel;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra abstrata, mais especificamente sobre aneles. O enunciado nos pede para provar que o conjunto de todas as matrizes
com entradas no anel
, denotado por
, forma ele próprio um anel quando usamos as operações de soma e multiplicação de matrizes que a gente já conhece. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel e como as operações funcionam nas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição (+) e multiplicação (·) que satisfazem algumas propriedades:
- Fechamento na adição: Se
e estão no anel, então também está no anel. - Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um elemento
tal que para todo . - Inversos aditivos: Para todo
, existe tal que . - Fechamento na multiplicação: Se
e estão no anel, então também está no anel. - Associatividade da multiplicação:
. - Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja,
e .
Nosso objetivo é mostrar que
também satisfaz todas essas propriedades usando as operações de soma e multiplicação de matrizes.
Passo 3
Vamos começar verificando a fechamento na adição. Se pegarmos duas matrizes
e
em
, sua soma
é outra matriz onde cada entrada é a soma das entradas correspondentes de
e
. Como
é um anel, a soma de quaisquer elementos de
também está em
, então
está em
.
Passo 4
Agora, a comutatividade da adição. Para qualquer duas matrizes
e
em
,
porque a adição em
é comutativa. Ou seja, cada entrada
, mantendo a comutatividade na soma das matrizes.
Passo 5
Vamos verificar a associatividade da adição. Para três matrizes
,
e
em
, temos:
Isso ocorre porque a adição em
é associativa, então cada entrada soma associativamente:
Passo 6
Sobre o elemento neutro da adição, existe uma matriz zero
em
onde todas as entradas são
de
. Para qualquer matriz
em
:
Porque
para todas as entradas.
Passo 7
Agora, os inversos aditivos. Para qualquer matriz
em
, existe uma matriz
onde cada entrada é
de
. Assim:
Pois
para todas as entradas.
Passo 8
Vamos para a fechamento na multiplicação. Se
e
estão em
, sua multiplicação
é uma matriz cujo elemento
é a soma dos produtos
para
de 1 a
. Como
é um anel e fechado na multiplicação, cada produto
está em
, e a soma deles também está em
. Portanto,
está em
.
Passo 9
A associatividade da multiplicação segue do fato de que a multiplicação de matrizes é associativa. Ou seja, para três matrizes
,
e
em
:
Isso se deve à associatividade da multiplicação em
.
Passo 10
Finalmente, a distributividade da multiplicação sobre a adição. Para matrizes
,
e
em
:
Isso ocorre porque a multiplicação em
distribui sobre a adição, então cada entrada da matriz multiplicada distribui corretamente.
Resposta
Com todas as propriedades verificadas, mostramos que
com as operações de soma e multiplicação usuais é, de fato, um anel.