Verifique se
.
.$) com as operações usuais em cada um dos casos:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos verificar se o conjunto
é um subcorpo de
, ou seja, se
é um subconjunto de
que também satisfaz as propriedades de um corpo com as operações de adição e multiplicação usuais.
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um corpo e o que significa ser um subcorpo. Vamos seguir passo a passo para verificar cada uma das propriedades necessárias.
Passo 2
Definição de Corpo:
Um corpo é um conjunto equipado com duas operações, adição (+) e multiplicação (·), que satisfazem as seguintes propriedades:
- Fechamento: A operação resulta sempre em um elemento do corpo.
- Associatividade: A ordem em que as operações são realizadas não afeta o resultado.
- Comutatividade: A ordem dos elementos não altera o resultado da operação.
- Elemento Neutro: Existe um elemento que, quando usado na operação, não altera o outro elemento.
- Elementos Inversos: Para cada elemento, existe outro que, quando operados juntos, resultam no elemento neutro.
- Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Subcorpo:
Um subcorpo de um corpo
é um subconjunto de
que, por si só, também forma um corpo com as mesmas operações de
.
Passo 3
Vamos verificar cada propriedade para
:
-
Fechamento na Adição:
- Se
e estão em , então . - Como
e são racionais, também está em .
- Se
-
Fechamento na Multiplicação:
-
. - Note que
, que não está necessariamente na forma com . - Isso indica que o produto pode não estar em
.
-
-
Existência de Elemento Neutro:
- O elemento neutro para a adição é
, que está em . - O elemento neutro para a multiplicação é
, também em .
- O elemento neutro para a adição é
-
Existência de Elementos Inversos:
- Para adição: para
, o inverso é , que está em . - Para multiplicação: precisamos que para todo
em , exista em tal que . Mas, como vimos no fechamento na multiplicação, isso nem sempre é garantido.
- Para adição: para
-
Associatividade e Comutatividade:
- Essas propriedades já são satisfeitas porque estamos trabalhando com
, que é um corpo.
- Essas propriedades já são satisfeitas porque estamos trabalhando com
-
Distributividade:
- Também é satisfeita pelas propriedades de
.
- Também é satisfeita pelas propriedades de
Passo 4
Observando o fechamento na multiplicação, percebemos que o produto de dois elementos de
pode não pertencer a
, pois o termo
não está na forma
com
.
Além disso, para existir o inverso multiplicativo
em
para todo
em
, precisaríamos que
também esteja na forma
. No entanto, isso nem sempre é possível, já que envolveria resolver equações polinomiais que não preservam a forma inicial em
.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subcorpo de
com as operações usuais.