Verifique se (S,+,. ) é subcorpo de (R,+,é.$) com as operações usuais em cada um dos casos: ) com as operações usuais em cada um dos casos: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é um subcorpo de , ou seja, se é um subconjunto de que também satisfaz as propriedades de um corpo com as operações de adição e multiplicação usuais.
Para isso, vamos precisar lembrar o que define um corpo e o que significa ser um subcorpo. Vamos seguir passo a passo para verificar cada uma das propriedades necessárias.

Passo 2

Definição de Corpo:
Um corpo é um conjunto equipado com duas operações, adição (+) e multiplicação (·), que satisfazem as seguintes propriedades:
  1. Fechamento: A operação resulta sempre em um elemento do corpo.
  2. Associatividade: A ordem em que as operações são realizadas não afeta o resultado.
  3. Comutatividade: A ordem dos elementos não altera o resultado da operação.
  4. Elemento Neutro: Existe um elemento que, quando usado na operação, não altera o outro elemento.
  5. Elementos Inversos: Para cada elemento, existe outro que, quando operados juntos, resultam no elemento neutro.
  6. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Subcorpo:
Um subcorpo de um corpo é um subconjunto de que, por si só, também forma um corpo com as mesmas operações de .

Passo 3

Vamos verificar cada propriedade para :
  1. Fechamento na Adição:
    • Se e estão em , então .
    • Como e são racionais, também está em .
  2. Fechamento na Multiplicação:
    • .
    • Note que , que não está necessariamente na forma com .
    • Isso indica que o produto pode não estar em .
  3. Existência de Elemento Neutro:
    • O elemento neutro para a adição é , que está em .
    • O elemento neutro para a multiplicação é , também em .
  4. Existência de Elementos Inversos:
    • Para adição: para , o inverso é , que está em .
    • Para multiplicação: precisamos que para todo em , exista em tal que . Mas, como vimos no fechamento na multiplicação, isso nem sempre é garantido.
  5. Associatividade e Comutatividade:
    • Essas propriedades já são satisfeitas porque estamos trabalhando com , que é um corpo.
  6. Distributividade:
    • Também é satisfeita pelas propriedades de .

Passo 4

Observando o fechamento na multiplicação, percebemos que o produto de dois elementos de pode não pertencer a , pois o termo não está na forma com .
Além disso, para existir o inverso multiplicativo em para todo em , precisaríamos que também esteja na forma . No entanto, isso nem sempre é possível, já que envolveria resolver equações polinomiais que não preservam a forma inicial em .

Resposta

Não, o conjunto não é um subcorpo de com as operações usuais.

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