Considere .$) um anel. Prove que, com as operações de soma e produto usuais: Se . tem unidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que se temos um anel que possui uma unidade (ou elemento identidade), então o conjunto das matrizes de com entradas em , também forma um anel com unidade usando as operações de soma e produto usuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel com unidade e como essas operações funcionam nas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma unidade em um anel. Um anel tem unidade se existe um elemento em tal que, para qualquer elemento em , temos .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que também tem uma unidade. Em , a unidade é a matriz identidade, que chamaremos de . Essa matriz tem na diagonal principal e zeros nos demais lugares. Formalmente:
Passo 4
Vamos verificar se realmente funciona como unidade em . Para isso, pegamos uma matriz qualquer e calculamos e .
Passo 5
Calculando (In cdot M)ij = sumk=1^n (In)ik cdot Mkj :
De novo, como para e para , a soma também reduz para .
Passo 7
Portanto, age como uma unidade tanto na esquerda quanto na direita para qualquer matriz em . Isso mostra que tem uma unidade, que é justamente a matriz identidade .
Resposta
Assim, comprovamos que se tem unidade, então também possui uma unidade, que é a matriz identidade .