Considere (A,+,.$) um anel. Prove que, com as operações de soma e produto usuais: Se ) um anel Prove que, com as operações de soma e produto usuais: Se . ã tem unidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que se temos um anel que possui uma unidade (ou elemento identidade), então o conjunto das matrizes de com entradas em , também forma um anel com unidade usando as operações de soma e produto usuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel com unidade e como essas operações funcionam nas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma unidade em um anel. Um anel tem unidade se existe um elemento em tal que, para qualquer elemento em , temos .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que In = 1A & 0 & cdots & 0 0 & 1A & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1A também tem uma unidade. Em , a unidade é a matriz identidade, que chamaremos de . Essa matriz tem na diagonal principal e zeros nos demais lugares. Formalmente:

Passo 4

Vamos verificar se realmente funciona como unidade em . Para isso, pegamos uma matriz qualquer e calculamos e .

Passo 5

Calculando (In cdot M)ij = sumk=1^n (In)ik cdot Mkj :
Como para e para , a soma reduz para .

Passo 6

Similarmente, calculando (M cdot In)ij = sumk=1^n Mik cdot (In)kj :
De novo, como para e para , a soma também reduz para .

Passo 7

Portanto, age como uma unidade tanto na esquerda quanto na direita para qualquer matriz em . Isso mostra que tem uma unidade, que é justamente a matriz identidade .

Resposta

Assim, comprovamos que se tem unidade, então também possui uma unidade, que é a matriz identidade .

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