Verifique se (S,+,. ) é subcorpo de (R,+,é.$) com as operações usuais em cada um dos casos: ) com as operações usuais em cada um dos casos: ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Queremos verificar se o conjunto com as operações habituais de adição e multiplicação é um subcorpo de . Um subcorpo precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como ter um elemento neutro, ser fechado sob adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero). Para resolver isso, vamos passo a passo verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o elemento neutro para a adição, que é o zero. Se considerarmos e na expressão , obtemos . Então, o zero está em .

Passo 3

Agora, precisamos ver se u + v = (a + c) raiz2 + (b + d) raiz3 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois elementos quaisquer de , a soma também deve estar em . Vamos considerar dois elementos e , onde . A soma seria:
Como e são racionais (soma de racionais é racional), então também está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Vamos verificar agora a multiplicação. Pegando os mesmos elementos u cdot v = (a raiz2 + b raiz3)(c raiz2 + d raiz3) = ac (raiz2)^2 + ad raiz2raiz3 + bc raiz3raiz2 + bd (raiz3)^2 e u cdot v = 2ac + (ad + bc) raiz6 + 3bd , a multiplicação seria:
u cdot v = (2ac + 3bd) + (ad + bc) raiz6
Simplificando:
Aqui, vemos que é racional, mas não pertence à nossa definição original de , que só inclui e . Portanto, não está necessariamente em .

Passo 5

Além disso, para ser um subcorpo, precisamos que cada elemento diferente de zero tenha um inverso multiplicativo em . Porém, já vimos que a multiplicação de dois elementos de pode gerar termos com , que não estão em . Isso indica que os inversos multiplicativos podem não estar em .

Resposta

Como não é fechado sob multiplicação e não garante a existência de inversos multiplicativos dentro do próprio , concluímos que não é um subcorpo de .

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