Verifique se
.
.$) com as operações usuais em cada um dos casos:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Queremos verificar se o conjunto
com as operações habituais de adição e multiplicação é um subcorpo de
. Um subcorpo precisa satisfazer algumas propriedades básicas, como ter um elemento neutro, ser fechado sob adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero). Para resolver isso, vamos passo a passo verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém o elemento neutro para a adição, que é o zero. Se considerarmos
e
na expressão
, obtemos
. Então, o zero está em
.
Passo 3
Agora, precisamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois elementos quaisquer de
, a soma também deve estar em
. Vamos considerar dois elementos
e
, onde
. A soma seria:
Como
e
são racionais (soma de racionais é racional), então
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Vamos verificar agora a multiplicação. Pegando os mesmos elementos
e
, a multiplicação seria:
Simplificando:
Aqui, vemos que
é racional, mas
não pertence à nossa definição original de
, que só inclui
e
. Portanto,
não está necessariamente em
.
Passo 5
Além disso, para
ser um subcorpo, precisamos que cada elemento diferente de zero tenha um inverso multiplicativo em
. Porém, já vimos que a multiplicação de dois elementos de
pode gerar termos com
, que não estão em
. Isso indica que os inversos multiplicativos podem não estar em
.
Resposta
Como
não é fechado sob multiplicação e não garante a existência de inversos multiplicativos dentro do próprio
, concluímos que
não é um subcorpo de
.