Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de (Q,+,.$) com as operações usuais. ) com as operações usuais ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto Q - Z, que representa todos os números racionais que não são inteiros, é um subanel de (Q, +, cdot), ou seja, do conjunto dos números racionais com as operações de adição e multiplicação que já conhecemos. Para isso, vamos lembrar quais são as condições necessárias para um conjunto ser um subanel.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que um subanel precisa ser um subgrupo em relação à adição. Isso significa que o conjunto deve:
  1. Conter o elemento neutro da adição, que no caso dos racionais é o 0.
  2. Ser fechado sob a adição, ou seja, se você pegar dois elementos do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Ser fechado sob a subtração, o que é parecido com a adição.
Além disso, o subanel também precisa ser fechado sob a multiplicação, ou seja, multiplicar dois elementos do conjunto deve resultar em outro elemento que também está no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: conter o elemento neutro 0. Olhando para o conjunto Q - Z, vemos que ele exclui todos os números inteiros. Mas o 0 é um número inteiro, então ele não está em Q - Z. Isso já é um problema, porque todo subanel precisa necessariamente conter o 0.

Passo 4

Além disso, vamos pensar na fechadura sob a adição. Por exemplo, considere os números 12 e -12, que estão em Q - Z. Se somarmos eles, temos 12 + (-12) = 0, que não está no conjunto Q - Z. Isso mostra que o conjunto também não é fechado sob a adição.

Resposta

Não, o conjunto Q - Z não é um subanel de (Q, +, cdot) porque não contém o elemento neutro 0 e não é fechado sob a adição.

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