Verifique se os conjuntos abaixo são subanéis de
.$) com as operações usuais.
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto
, que representa todos os números racionais que não são inteiros, é um subanel de
, ou seja, do conjunto dos números racionais com as operações de adição e multiplicação que já conhecemos. Para isso, vamos lembrar quais são as condições necessárias para um conjunto ser um subanel.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que um subanel precisa ser um subgrupo em relação à adição. Isso significa que o conjunto deve:
- Conter o elemento neutro da adição, que no caso dos racionais é o 0.
- Ser fechado sob a adição, ou seja, se você pegar dois elementos do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Ser fechado sob a subtração, o que é parecido com a adição.
Além disso, o subanel também precisa ser fechado sob a multiplicação, ou seja, multiplicar dois elementos do conjunto deve resultar em outro elemento que também está no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: conter o elemento neutro 0. Olhando para o conjunto
, vemos que ele exclui todos os números inteiros. Mas o 0 é um número inteiro, então ele não está em
. Isso já é um problema, porque todo subanel precisa necessariamente conter o 0.
Passo 4
Além disso, vamos pensar na fechadura sob a adição. Por exemplo, considere os números
e
, que estão em
. Se somarmos eles, temos
, que não está no conjunto
. Isso mostra que o conjunto também não é fechado sob a adição.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subanel de
porque não contém o elemento neutro 0 e não é fechado sob a adição.